这个题目其实早就做了，只是突然发现还没发，那就凑一下GZOI
题意：给定$x,y$求
$$sum_{ileq x}dep(lca(i,y))^k$$
首先我们先来看这个题目的简化版
https://www.luogu.org/problem/P4211
求 $$sum_{ileq x}dep(lca(i,y))$$
我们来看$dep$的实际意义——从 i 点到根有多少个点（包括 i ）。
我们从整体上考虑，发现对于一个询问：所有的 $lca$ 都在 $y$ 到根的路径上。从而有一些点，它们对很多的 $lca$ 的深度都有贡献，而这个贡献等于在这个点下面的 $lca$ 的个数，所以我们可以把每个 $lca$ 到根的路径上的每个点的权值都加一。然后从 $y$ 向上走到根，沿路统计的权值就是答案了。
这里，我们可以把所有的询问离线下来，按照 $x$ 排序，然后每个节点就向上跳把所有的上面的点染上颜色，然后查询的时候只需要向上找，看有多少染上颜色的节点，并且计算贡献，这里我们只需要用树链剖分维护一下就行了
然后是我非常丑的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define gc getchar()
inline ll read()
{
re ll x(0),f(1);re char c(gc);
while(c>'9'||c<'0')f=c=='-'?-1:1,c=gc;
while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc;
return f*x;
}
const ll N=50500,mod=201314;
ll n,Q,k,h[N],cnt,qs;
struct edge{ll next,to;}e[N];
void add(ll u,ll v){e[++cnt]=(edge){h[u],v},h[u]=cnt;}
#define QXX(u) for(ll i=h[u],v;v=e[i].to,i;i=e[i].next)
ll dep[N],fa[N],son[N],siz[N],top[N],rev[N],seq[N],tot;
void dfs(ll u)
{
siz[u]=1;
QXX(u)
{
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[son[u]]<siz[v])
son[u]=v;
}
}
void Dfs(ll u)
{
if(son[u])
{
ll v=son[u];
seq[v]=++tot;
rev[tot]=v;
top[v]=top[u];
Dfs(v);
}
QXX(u)
{
if(v==son[u]) continue;
seq[v]=++tot;
rev[tot]=v;
top[v]=v;
Dfs(v);
}
}
struct node{ll id,x,z,ans;bool w;}q[N<<1];
bool operator < (node a,node b){return a.x<b.x;}
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
ll sum[N<<2],tag[N<<2];
void pushup(ll id){sum[id]=(sum[ls]+sum[rs])%mod;}
void pushdown(ll id,ll l,ll r)
{
if(tag[id])
{
tag[ls]+=tag[id];
tag[rs]+=tag[id];
sum[ls]+=tag[id]*(mid-l+1);
sum[rs]+=tag[id]*(r-mid);
sum[ls]%=mod;
sum[rs]%=mod;
tag[id]=0;
}
}
void change(ll id,ll l,ll r,ll L,ll R)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
tag[id]++;
sum[id]+=(r-l+1);
sum[id]%=mod;
return;
}
pushdown(id,l,r);
if(mid>=L) change(ls,l,mid,L,R);
if(mid<R) change(rs,mid+1,r,L,R);
pushup(id);
}
void work(ll x)
{
while(1)
{
if(top[x]!=x)
change(1,1,tot,seq[top[x]],seq[x]),x=fa[top[x]];
else
{
change(1,1,tot,seq[x],seq[x]);
x=fa[x];
}
if(x==0) return;
}
}
ll query(ll id,ll l,ll r,ll L,ll R)
{
if(l>=L&&r<=R) return sum[id]%mod;
pushdown(id,l,r);
ll ans=0;
if(mid>=L) ans+=query(ls,l,mid,L,R);
if(mid<R) ans+=query(rs,mid+1,r,L,R);
return ans%mod;
}
ll ask(ll x)
{
ll ans=0;
while(1)
{
if(top[x]!=x)
ans+=query(1,1,tot,seq[top[x]],seq[x]),x=fa[top[x]];
else
{
ans+=query(1,1,tot,seq[x],seq[x]);
x=fa[x];
}
ans%=mod;
if(x==0) return ans;
}
}
ll ans[N];
int main()
{
n=read(),Q=read();
for(ll i=2;i<=n;++i)
{
ll x=read()+1;
add(x,i);
fa[i]=x;
}
top[1]=1;seq[1]=++tot;
dfs(1);Dfs(1);
for(ll i=1;i<=Q;++i)
{
ll l=read(),r=read()+1,z=read()+1;
q[++qs]=(node){i,l,z,0,0};
q[++qs]=(node){i,r,z,0,1};
}
sort(q+1,qs+1+q);
ll t=0;
while(q[t+1].x<1) ++t;
for(ll i=1;i<=n;++i)
{
work(i);
while(q[t+1].x<=i&&t<qs)
++t,q[t].ans=ask(q[t].z);
if(t==qs) break;
}
for(ll i=1;i<=qs;++i)
{
if(q[i].w==0) ans[q[i].id]-=q[i].ans;
else ans[q[i].id]+=q[i].ans;
}
for(ll i=1;i<=Q;++i)
cout<<(ans[i]+mod)%mod<<endl;
return 0;
}
然后我们回到本题，这里是多了一个 $k$ 次方
首先我们来看前面的每次$+1$是哪里来的 $dep[i]->dep[i+1]$所以这里实际上就是在做差分，那么我们把指数换成 $k$
$dep[i]^k->(dep[i]+1)^k$
那么，我们就预处理出来每一个 $dep^k$ 然后对于每个节点就相当于每次会增加 $dep[x]^k-(dep[x]-1)^$ 的贡献
然后我们就可以转化为，对于一个序列，每个点的值是 $a*b$ 其中 $b$ 是定值，但是每个节点不一样，每次操作就是做区间修改给 $a$ 加上1和区间查询
然后我们维护线段树的时候再多维护一个 $sum_b$ 就可以了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define gc getchar()
inline ll read()
{
re ll x(0),f(1);re char c(gc);
while(c>'9'||c<'0')f=c=='-'?-1:1,c=gc;
while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc;
return f*x;
}
const ll N=50050,mod=998244353;
ll n,Q,k,h[N],cnt,qs;
struct edge{ll next,to;}e[N];
void add(ll u,ll v){e[++cnt]=(edge){h[u],v},h[u]=cnt;}
#define QXX(u) for(ll i=h[u],v;v=e[i].to,i;i=e[i].next)
ll dep[N],fa[N],son[N],siz[N],top[N],seq[N],rev[N],tot;
void dfs(ll u)
{
siz[u]=1;
QXX(u)
{
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[son[u]]<siz[v])
son[u]=v;
}
}
void Dfs(ll u,ll to)
{
seq[u]=++tot,rev[tot]=u;
top[u]=to;
if(son[u])
Dfs(son[u],top[u]);
QXX(u)
{
if(v==son[u]) continue;
Dfs(v,v);
}
}
ll qpow(ll x,ll b)
{
ll a=1;
while(b)
{
if(b&1) a=(x*a)%mod;
x=(x*x)%mod,b>>=1;
}
return a;
}
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
ll su[N<<2],sum[N<<2],tag[N<<2],po[N];
void pushup(ll id)
{
sum[id]=sum[ls]+sum[rs];
su[id]=su[ls]+su[rs];
}
void pushdown(ll id,ll l,ll r)
{
if(tag[id])
{
tag[ls]+=tag[id];
tag[rs]+=tag[id];
sum[ls]=(sum[ls]+tag[id]*su[ls])%mod;
sum[rs]=(sum[rs]+tag[id]*su[rs])%mod;
tag[id]=0;
}
}
void built(ll id,ll l,ll r)
{
if(l==r)
{
su[id]=(po[dep[rev[l]]]+mod-po[dep[rev[l]]-1])%mod;
return;
}
built(ls,l,mid);
built(rs,mid+1,r);
pushup(id);
}
void change(ll id,ll l,ll r,ll L,ll R)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
tag[id]++;
sum[id]+=su[id];
sum[id]%=mod;
return;
}
pushdown(id,l,r);
if(mid>=L) change(ls,l,mid,L,R);
if(mid<R) change(rs,mid+1,r,L,R);
pushup(id);
}
ll query(ll id,ll l,ll r,ll L,ll R)
{
if(l>=L&&r<=R) return sum[id]%mod;
pushdown(id,l,r);
ll ans=0;
if(mid>=L) ans+=query(ls,l,mid,L,R);
if(mid<R) ans+=query(rs,mid+1,r,L,R);
return ans%mod;
}
void work(ll x)
{
while(1)
{
if(top[x]!=x)
change(1,1,tot,seq[top[x]],seq[x]),x=fa[top[x]];
else
{
change(1,1,tot,seq[x],seq[x]);
x=fa[x];
}
if(x==0) return;
}
}
ll ask(ll x)
{
ll ans=0;
while(1)
{
if(top[x]!=x)
ans+=query(1,1,tot,seq[top[x]],seq[x]),x=fa[top[x]];
else
{
ans+=query(1,1,tot,seq[x],seq[x]);
x=fa[x];
}
ans%=mod;
if(x==0) return ans;
}
}
struct node{ll id,x,y,ans;}q[N];
bool cmpx(node a,node b){return a.x<b.x;}
bool cmpi(node a,node b){return a.id<b.id;}
int main()
{
n=read(),Q=read(),k=read();
for(ll i=1;i<=n;++i)
po[i]=qpow(i,k);
for(ll i=2;i<=n;++i)
{
fa[i]=read();
add(fa[i],i);
}
dep[1]=1;
dfs(1),Dfs(1,1);
built(1,1,tot);
for(ll i=1;i<=Q;++i)
{
ll x=read(),y=read();
q[i]=(node){i,x,y,0};
}
sort(q+1,q+1+Q,cmpx);
ll t=0;
while(q[t+1].x<1) ++t;
for(ll i=1;i<=n;++i)
{
work(i);
while(q[t+1].x<=i&&t<Q)
++t,q[t].ans=ask(q[t].y);
if(t==Q) break;
}
sort(q+1,q+1+Q,cmpi);
for(ll i=1;i<=Q;++i)
cout<<q[i].ans<<endl;
return 0;
}