前置知识：莫比乌斯反演，狄利克雷卷积等亿点数论知识。
不会不要紧，这里顺便一提。
积性函数
对于一个数论函数 (mathbf f)，若对于任意的 (aperp b)，都有 (mathbf fleft(ab ight) = mathbf fleft(a ight)mathbf fleft(b ight))，则称 (f) 为一个积性函数。即使不满足 (aperp b) 时仍有 (mathbf fleft(ab ight) = mathbf fleft(a ight)mathbf fleft(b ight)) 的数论函数被称为完全积性函数。
一些积性函数的例子：
- (1)，1 函数。对于任意的 (n)，有 (1left(n ight) = 1)。（完全积性函数）
- (Id_k)，幂函数。(Id_kleft(n ight) = n^k)，当 (k = 1) 时下标可省略不写。（完全记性函数）
- (varphi)，欧拉函数。
- (mu) 莫比乌斯函数。
- (varepsilon)。单位元。(varepsilonleft(n ight) = [n = 1])。（完全积性函数）
- (gcdleft(k, n ight))（(k) 为常数）。
狄利克雷卷积
对于两个数论函数 (mathbf f) 和 (mathbf g)，定义其狄利克雷卷积为:
可以证明，(*) 运算符合交换律和结合律。
其单位元为 (varepsilon)。
两个积性函数的狄利克雷卷积仍旧是一个积性函数。
一些例子
- (mathbf f * varepsilon = mathbf f)
- (mu * 1 = varepsilon)
- (varphi * 1 = Id)
- (Id * mu = varphi)
- (1 * Id = sigma)
- (1 * 1 = d)
后面两个分别是约数和函数和约数个数函数。
莫比乌斯反演
若两个数论函数 (mathbf f) 和 (mathbf g) 满足如下关系
那么就有
证明：把上面的式子写成 (mathbf f = mathbf g * 1)，然后两边同时卷上 (mu) 即可。
杜教筛
杜教筛可以用于在非线性时间内求数论函数前缀和。
直接从具体例子入手，可能会好理解一些。
思考一个问题：(varphi) 函数的前缀和怎么求？求出其 (1) 到 (n) 的前缀和，(n) 在 (10^9) 级别。
当数据范围很小的时候，我们的做法是通过线性筛筛出所有的 (varphi) 函数值，然后求个前缀和。
然而在这种数据范围下，这种做法显然行不通了。
那我们来思考几个简单的问题：
- (1) 的前缀和是什么？显然是 (n)。
- (Id) 的前缀和是什么？显然是 (frac{nleft(n + 1 ight)}{2})。
- (Idleft(1 ight)) 的值是多少？显然是 (1)。
而我们考虑到 (varphi * 1 = Id)。
考虑能不能用这些很好求前缀和的数论函数来求 (mu) 的前缀和。
设 (sum_{i = 1}^nvarphileft(i ight) = sleft(n ight))。
那么就有
改变枚举顺序，考虑每个 (1left(d ight) =1) 的贡献,那么原式等于
那么 (sleft(n ight)) 值是什么？答案是：
哇，我们发现了什么？
后面的那个 (s) 我们可以在一边数论分块，一边递归的求。
这样我们就可以筛出一些比较小的时候的 (s) 的值，然后用个 map 记忆化一下计算。
LL sum_phi(LL n) {
if(n <= N) return sphi0[(int)n];
if(sphi.count(n)) return sphi[n];
LL res = 1ll * n * (n + 1) / 2;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_phi(n / l);
}
return sphi[n] = res;
}
推广到一般情况，则可以得出下面的式子
对于一个数论函数 (mathbf f)，设 (sleft(n ight) = sum_{i = 1}^nmathbf fleft(i ight))，另外有数论函数 (mathbf g)。
有
如果您能够快速求出 (left(mathbf {f * g} ight)) 的前缀和，(mathbf g) 的前缀和，以及 (mathbf gleft(1 ight)) 的值的话，也就意味着您能够用类似于上面求 (sum_{i = 1}^n varphileft(i ight)) 的方式，快速求出 (mathbf f) 的前缀和！
算法的复杂度是 (mathcal O(n^{frac{2}{3}})) 的。
这就是杜教筛啦。
完整代码 洛谷 P4213 【模板】杜教筛
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
template <typename Temp> inline void read(Temp & res) {
Temp fh = 1; res = 0; char ch = getchar();
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') fh = -1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ '0');
res = res * fh;
}
namespace Math {
#define N (10000000)
const int Maxn = 1e7 + 5;
bool isprime[Maxn]; int prime[Maxn], cnt_prime; LL phi0[Maxn], mu0[Maxn];
void sieve() {
phi0[1] = mu0[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++i) {
if(!isprime[i]) {
prime[++cnt_prime] = i;
phi0[i] = i - 1; mu0[i] = -1;
}
for(int j = 1; j <= cnt_prime && prime[j] <= N / i; ++j) {
int cur = i * prime[j];
isprime[cur] = 1;
if(i % prime[j] == 0) {
phi0[cur] = phi0[i] * prime[j];
mu0[cur] = 0; break;
} else {
phi0[cur] = phi0[i] * (prime[j] - 1);
mu0[cur] = -mu0[i];
}
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i) phi0[i] += phi0[i - 1], mu0[i] += mu0[i - 1];
}
std::map<LL, LL> mu, phi;
//mu * 1 = epsilon
LL sum_mu(LL n) {
if(n <= N) return mu0[(int)n];
if(mu.count(n)) return mu[n];
LL res = 1ll;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_mu(n / l);
}
return mu[n] = res;
}
//phi * 1 = id
LL sum_phi(LL n) {
if(n <= N) return phi0[(int)n];
if(phi.count(n)) return phi[n];
LL res = 1ll * n * (n + 1) / 2;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_phi(n / l);
}
return phi[n] = res;
}
#undef N
}
int T, n;
int main() {
using namespace Math;
sieve();
read(T);
while(T--) {
read(n);
printf("%lld %lld
", sum_phi(n), sum_mu(n));
}
return 0;
}