约瑟夫环：递归算法（唐伯虎点秋香）

约瑟夫环：递归算法

 

假设下标从0开始，0，1，2 .. m-1共m个人，从1开始报数，报到k则此人从环出退出，问最后剩下的一个人的编号是多少？

现在假设m=10

0 1 2 3  4 5 6 7 8 9    k=3

第一个人出列后的序列为：

0 1 3 4 5 6 7 8 9

即:

3 4 5 6 7 8 9 0 1（*）

我们把该式转化为:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (**)

则你会发现: （(**)+3）%10则转化为(*)式了

也就是说，我们求出9个人中第9次出环的编号，最后进行上面的转换就能得到10个人第10次出环的编号了 

设f(m,k,i)为m个人的环，报数为k，第i个人出环的编号，则f(10,3,10)是我们要的结果

当i=1时，  f(m,k,i) = (m+k-1)%m

当i!=1时，  f(m,k,i)= ( f(m-1,k,i-1)+k )%m

所以程序如下：

int fun(int m,int k,int i){
 
    if(i==1)
        return (m+k-1)%m;
    else
        return (fun(m-1,k,i-1)+k)%m;
 
}
int main(int argc, char* argv[])
{
     
    for(int i=1;i<=10;i++)
        printf("第%2d次出环：%2d
",i,fun(10,3,i));
    return 0;
}

第 1次出环： 2
第 2次出环： 5
第 3次出环： 8
第 4次出环： 1
第 5次出环： 6
第 6次出环： 0
第 7次出环： 7
第 8次出环： 4
第 9次出环： 9
第10次出环： 3

　

    数学解（提供思路）：

　

 参考C#做法（据说不是很好）

常用算法(C#): 约瑟夫环问题
约瑟夫环问题: 设有n个人围坐在圆桌周围，现从某个位置m（1≤m≤n）上的人开始报数，报数到k的人就站出来。
继续下一个人，即原来的第k+1个位置上的人，又从1开始报数，再报数到k的人站出来。依此重复下去，直到全部的人都站出来为止
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace ExJose
{
    class ClassJose    {
        //从第start人开始计数，以alter为单位循环记数出列，总人数为total 
        public int[] Jose(int total, int start,int alter)
        {
            int j, k = 0;
            //count数组存储按出列顺序的数据，以当结果返回 
            int[] count = new int[total + 1];
            //s数组存储初始数据 
            int[] s = new int[total + 1];
            //对数组s赋初值,第一个人序号为0,第二人为1，依此下去
            for (int i = 0; i < total; i++)
            {
                s[i] = i;
            }
            //按出列次序依次存于数组count中 
            for (int i = total; i >= 2; i--)
            {
                start = (start + alter - 1) % i;
                if (start == 0)
                    start = i;
                count[k] = s[start];
                k++;
                for (j = start + 1; j <= i; j++)
                    s[j - 1] = s[j];
            }
            count[k] = s[1];
            //结果返回 
            return count;
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            ClassJose    e=new ClassJose     ();
            int[] a = e.Jose(10,3,4);
            for (int i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                Console.WriteLine(a[i].ToString ());
            }
        }
    }
}