转载自：https://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/7423745.html
题目链接：http://poj.org/problem?id=1458
题目大意：给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。
输入有若干行，每行是两个字符串。对每一行输入的两个字符串，输出最长公共子串的长度。
Sample Input
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
Sample Output
4
2
0
算法分析
参考1：北大郭炜老师mooc课程
参考2：http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40741333
参考3：http://blog.csdn.net/lz161530245/article/details/76943991
输入两个串s1,s2,
设MaxLen(i,j)表示:s1的左边i个字符形成的子串，与s2左边的j个字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i,j从0开始算）
MaxLen(i,j) 就是本题的“状态”
假定 len1 = strlen(s1),len2 = strlen(s2）
那么题目就是要求 MaxLen(len1,len2)
显然：
MaxLen(n,0) = 0 ( n= 0…len1）
MaxLen(0,n) = 0 ( n=0…len2）
递推公式：
if(s1[i-1] == s2[j-1]) //s1的最左边字符是s1[0]
MaxLen(i,j) = MaxLen(i-1,j-1) + 1;
else
MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) );
时间复杂度O(mn),其中m,n是两个字串长度。
关于证明，可以阅读参考2和参考3的证明过程。大概过程记录如下：
1 我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。
2 让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列,考虑最后一项
3
4 第（1）种情况：Ax ＝ By
5 那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！
6 为什么呢？为了方便，我们令t=Ax=By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t，
7 则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a<x,b<y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！
8 如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短，那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。
9 因此L(x,y)=L(x-1,y-1)最后接上元素t，也就是说：
10 LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1
11
12 第（2）种情况：Ax ≠ By
13 仍然设t=L(Ax,By)的最后一个字符,或者L(Ax,By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。
14 则t≠Ax和t≠By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！
15 （2.1） 如果t≠Ax，则有L(x,y)=L(x-1,y)，因为根本没Ax的事嘛。
16 也就是说：LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
17 （2.2） 如果t≠By,同理有L(x,y)= L(x,y-1)。
18 也就是说：LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)
19 可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y)=max(LCS(x–1,y),LCS(x,y–1))。
20
21
22 看看目前我们已经得到了什么结论：
23 LCS(x,y) =
24 (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
25 (2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
26 这是一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？
27 显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有:
28 LCS(x,y) =
29 (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
30 (2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
31 (3) 0 如果x=0或者y=0
32
33 到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就这个二维度数组LCS(n,m)。
34
35 证明过程
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 using namespace std;
4 char sz1[5005];
5 char sz2[5005];
6 int maxLen[5005][5005];
7 int main()
8 {
9 while( cin >> sz1 >> sz2 )
10 {
11 int length1 = strlen( sz1);
12 int length2 = strlen( sz2);
13 int nTmp;
14 int i,j;
15 for( i = 0;i <= length1; i ++ ) maxLen[i][0] = 0;
16 for( j = 0;j <= length2; j ++ ) maxLen[0][j] = 0;
17 for( i = 1;i <= length1;i ++ )
18 {
19 for( j = 1; j <= length2; j ++ )
20 {
21 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] )
22 maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;
23 else
24 maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]);
25 }
26 }
27 cout << maxLen[length1][length2] << endl;
28 }
29 return 0;
30 }
上面的题目并没有要求输出最长的公共子序列。假如要输出最长公共子序列，可以阅读参考3的代码：（也可以暂时跳过，本文末尾有代码实现。）
1 #include <stdio.h>
2 #include <string.h>
3 #include <stdlib.h>
4 int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b)
5 {
6 int i,j,length1,length2,len;
7 length1 = strlen(str1);
8 length2 = strlen(str2);
9
10 //双指针的方法申请动态二维数组
11 int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行
12 for(i = 0; i < length1+1; i++)
13 c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列
14
15 for(i = 0; i < length1+1; i++)
16 c[i][0]=0; //第0列都初始化为0
17 for(j = 0; j < length2+1; j++)
18 c[0][j]=0; //第0行都初始化为0
19
20 for(i = 1; i < length1+1; i++)
21 {
22 for(j = 1; j < length2+1; j++)
23 {
24 if(str1[i-1]==str2[j-1])//由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
25 {
26 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
27 b[i][j]=0; //输出公共子串时的搜索方向
28 }
29 else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
30 {
31 c[i][j]=c[i-1][j];
32 b[i][j]=1;
33 }
34 else
35 {
36 c[i][j]=c[i][j-1];
37 b[i][j]=-1;
38 }
39 }
40 }
41 /*
42 for(i= 0; i < length1+1; i++)
43 {
44 for(j = 0; j < length2+1; j++)
45 printf("%d ",c[i][j]);
46 printf("
");
47 }
48 */
49 len=c[length1][length2];
50 for(i = 0; i < length1+1; i++) //释放动态申请的二维数组
51 delete[] c[i];
52 delete[] c;
53 return len;
54 }
55 void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j)
56 {
57 if(i==0 || j==0)
58 return ;
59 if(b[i][j]==0)
60 {
61 PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串
62 printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
63 }
64 else if(b[i][j]==1)
65 PrintLCS(b, str1, i-1, j);
66 else
67 PrintLCS(b, str1, i, j-1);
68 }
69
70 int main(void)
71 {
72 char str1[100],str2[100];
73 int i,length1,length2,len;
74 printf("请输入第一个字符串：");
75 gets(str1);
76 printf("请输入第二个字符串：");
77 gets(str2);
78 length1 = strlen(str1);
79 length2 = strlen(str2);
80 //双指针的方法申请动态二维数组
81 int **b = new int*[length1+1];
82 for(i= 0; i < length1+1; i++)
83 b[i] = new int[length2+1];
84 len=LCSLength(str1,str2,b);
85 printf("最长公共子序列的长度为：%d
",len);
86 printf("最长公共子序列为：");
87 PrintLCS(b,str1,length1,length2);
88 printf("
");
89 for(i = 0; i < length1+1; i++)//释放动态申请的二维数组
90 delete[] b[i];
91 delete[] b;
92 system("pause");
93 return 0;
94 }
95
96 求最长公共子序列长度并输出最长公共子序列
查找并输出最长公共子序列也可以参考https://wenku.baidu.com/view/7e96c94f2b160b4e767fcfc9.html
空间上的优化：
观察上面算法中的关键代码：
1 for( i = 1;i <= length1;i ++ )
2 {
3 for( j = 1; j <= length2; j ++ )
4 {
5 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] ) maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;
6 else maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]);
7 }
8 }
可以发现，计算maxLen数组第i行时用到的只有第i行与第i-1行。我们的目的是要计算maxLen[length1][length2]，所以，可以考虑只保存两行即可，也就是使用滚动数组只保存两行。
代码如下：（参考来源）
cur表示当前需要求的那一行的下标。
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 using namespace std;
4 char sz1[5005];
5 char sz2[5005];
6 int maxLen[2][5005];
7 int main()
8 {
9 int i,j,length1,length2,cur=0;
10
11 while( cin >> sz1 >> sz2 )
12 {
13 length1 = strlen( sz1);
14 length2 = strlen( sz2);
15 for( i=0;i<2; i++ ) maxLen[i][0]=0;
16 for( j=0;j<=length2;j++ ) maxLen[0][j]=0;
17 cur=0;
18
19 for( i = 1;i <= length1;i ++ )
20 {
21 cur ^= 1;
22 for( j = 1; j <= length2; j ++ )
23 {
24 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] )
25 maxLen[cur][j] = maxLen[cur^1][j-1] + 1;
26 else
27 maxLen[cur][j] = max(maxLen[cur][j-1],maxLen[cur^1][j]);
28 }
29 }
30 cout << maxLen[cur][length2] << endl;
31 }
32 return 0;
33 }
下面修改一下代码寻找出一个最长公共子序列。
上面经过空间优化后，也只是寻找到了最长公共子序列的长度，那么如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢？其实我们离真正的答案只有一步之遥。
参考上图，我们建立一个二维数组ans[][]，在寻找最长公共子序列的长度时用ans[i][j]记录LCS（i，j）是如何来的（从左边、上边或是从左上），ans[i][j]等于1，2，3分别表示：
L(x,y) = L(x, y – 1)
L(x,y)= L(x – 1, y)
L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax
当ans[i][j]等于3时字符串1的第i个字符（或字符串2的第j个字符，其实两者相同）肯定是最长公共子序列的一部分，要保留到temp[ ]中。所以从ans[][]右下角逆推即可求出temp[ ]，然后逆序输出temp[]即可。代码如下：
1 //51Nod动态规划教程例题 求最长公共子序列的长度并输出一个最长公共子序列
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 using namespace std;
5 #define maxN 5005
6 char sz1[maxN];
7 char sz2[maxN];
8 int maxLen[2][maxN];
9 char ans[maxN][maxN]={0};
10
11 void printLCS(int len1,int len2);//输出一个最长公共子序列
12 int main()
13 {
14 int i,j,length1,length2,cur=0;
15 freopen("poj1458.in","r",stdin);
16 while( cin >> sz1 >> sz2 )
17 {
18 memset(ans,0,sizeof(char)*maxN*maxN);
19 length1 = strlen( sz1);
20 length2 = strlen( sz2);
21 for( i=0;i<2; i++ ) maxLen[i][0]=0;
22 for( j=0;j<=length2;j++ ) maxLen[0][j]=0;
23 cur=0;
24
25 for( i = 1;i <= length1;i ++ )
26 {
27 cur ^= 1;
28 for( j = 1; j <= length2; j ++ )
29 {
30 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] )
31 {
32 maxLen[cur][j] = maxLen[cur^1][j-1] + 1;
33 ans[i][j]=3;
34 }
35 else
36 {
37 //maxLen[cur][j] = max(maxLen[cur][j-1],maxLen[cur^1][j]);
38 if(maxLen[cur][j-1]>maxLen[cur^1][j])
39 {
40 maxLen[cur][j]=maxLen[cur][j-1];
41 ans[i][j]=1;
42 }
43 else
44 {
45 maxLen[cur][j]=maxLen[cur^1][j];
46 ans[i][j]=2;
47 }
48 }
49 }
50 }
51 cout << maxLen[cur][length2] << endl;
52 if(maxLen[cur][length2]>0) printLCS(length1,length2);
53 }
54 return 0;
55 }
56 void printLCS(int len1,int len2)//输出一个最长公共子序列
57 {
58 char temp[maxN];
59 int i=len1,j=len2,k=0;
60 while(ans[i][j]!=0)
61 {
62 if(ans[i][j]==3) { temp[k++]=sz1[i-1]; i--;j--; }
63 else if(ans[i][j]==1)
64 {
65 j--;
66 }
67 else if(ans[i][j]==2)
68 {
69 i--;
70 }
71 }
72 for(k--;k>=0;k--) printf("%c",temp[k]);
73 printf("
");
74 }