JZOJ3056 数字 题解

JZOJ3056 数字 题解

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Description
一个数字被称为好数字当他满足下列条件：

1. 它有2*n个数位，n是正整数(允许有前导0)
2. 构成它的每个数字都在给定的数字集合S中。
3. 它前n位之和与后n位之和相等或者它奇数位之和与偶数位之和相等
   例如对于n=2,S={1,2}，合法的好数字有1111,1122,1212,1221,2112,2121,2211,2222这样8种。
   已知n，求合法的好数字的个数mod 999983。

Input
第一行一个数n。
接下来一个长度不超过10的字符串，表示给定的数字集合。

Output
一行一个数字表示合法的好数字的个数mod 999983。

Sample Input
2
0987654321

Sample Output
1240

Hint
 对于20%的数据，n≤7。
 对于100%的.据,n≤1000,|S|≤10。

是一道方案数统计类型的题目。
我们需要结合容斥原理来做这道题。由于要求的数可以满足两个条件A、B中的任意一个，我们可以先求出满足A条件的个数，再求出满足B条件的个数，最后求出同时满足A、B的个数，A+B-A∩B就是答案。
A条件：该数列的前n位之和等于后n位之和。
设f[i][j]表示从集合S中取出的数，组成i位，和为j的方案数。递推方程：
f[i][j] += f[i - 1][j - num[k]]
num就是集合S。
那么我们可以枚举前n位和为i的方案即所有的f[n][i]，由于后n位与前n位和相等，那么后n位的方案数也是f[n][i]，两者相乘就是：前n位和=后n位和=i 的方案数。

B条件：该数列偶数位上的和等于奇数位上的和。
偶数位上的所有数长度为n，奇数位上的所有数长度也是n，于是可以把奇数序列当做一个单独的序列，偶数序列当做一个单独的序列，那么方案数就和A的方案数一样了。所以我们求的时候可以直接加2 * f[n][i] * f[n][i]。

同时满足A条件与B条件：
设该数列的奇数位序列为X，偶数位序列为Y。X的前半段和为a，后半段和为b；Y的前半段和为c，后半段和为d。若a = d, b = c，可推出a + b = c + d与a + c = b + d，前一个式子表明该数列的奇数位和等于偶数位和，后一个式子表明数列前半段的和等于后半段的和（仔细思考！奇数序列的前半段加上偶数序列的前半段就是整个序列的前半段！）。X的前半段和Y的后半段长度显然是(n + 1) / 2，也就是1~n之间奇数的个数为(n + 1) / 2，所以我们可以枚举i，累加所有的f[(n + 1) / 2][i]。偶数序列同理，枚举i，累加所有的f[n / 2]，把两个累加的和乘起来就是这个并集的方案数。把总方案数减掉并集的方案数即可。
结合代码理解：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>

typedef long long ll;
const int N = 1e3 + 3;
const ll P = 999983;

int n, len;
ll anssum = 0, anseven = 0, ansodd = 0, f[N][N * 9];
char str[15];
int num[15];

int main()
{
	scanf("%d%s", &n, str + 1);
	len = strlen(str + 1);
	for (int i = 1; i <= len; i++) num[i] = str[i] - '0';
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= n * 9; j++)
			for (int k = 1; k <= len; k++)
				if (j - num[k] >= 0)
					f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - num[k]]) % P; //递推求出f数组
	for (int i = 0; i <= n * 9; i++)
		anssum = (anssum + 2 * f[n][i] % P * f[n][i]) % P; //求出满足A条件的和满足B条件的方案数
	int len1 = (n + 1) / 2, len2 = n / 2; //求出两序列长度
	for (int i = 0; i <= len1 * 9; i++)
		anseven = (anseven + f[len1][i] % P * f[len1][i]) % P; //求出奇数序列的方案数
	for (int i = 0; i <= len2 * 9; i++)
		ansodd = (ansodd + f[len2][i] % P * f[len2][i]) % P;  //求出偶数序列的方案数
	printf("%lld
", (anssum - anseven * ansodd % P + P) % P); //总方案减去两者相乘，注意要+P，防止出现负数
	return 0;
}

好难啊