关于证明一个概率事件的期望次数

目录

• 引入问题
• 问题求解与证明
  • 无限和式
  • 根据期望方程求解
  • 概率生成函数
• 总结

引入问题

如果一个事件 (X) 有 (p in [0, 1]) 的概率成功，那么就有 (1-p) 的概率失败，如果失败了就再次执行 (X) 事件。问 (X) 事件期望的操作次数。

问题求解与证明

因为 (p = 0) 的时候，不存在成功的情况，所以不进行考虑。

对于 (p in (0, 1]) 的时候，很容易知道期望的操作次数是 (displaystyle frac{1}{p}) ，那如何证明呢？

无限和式

有一种很显然易见的解决办法就是无限和式。

考虑枚举在第几次成功了，那么贡献如下。

[egin{align} E_{X} &= sum_{i = 0}^{infty} (1 - p)^i~p ~(i + 1) \ &= p~[sum_{i = 0}^{infty} (1 - p)^i~(i + 1)] end{align} ]

不难发现 ((1 - p) in [0, 1)) 所以这个序列是一个收敛到 (0) 的无穷序列（因为 (i + 1) 的增长速度远小与 ((1 - p)^i) 的减小速度）

然后考虑这个式子如何求和，依然是扰动法。

令

[egin{align} S=sum_{i = 0}^{infty} (1 - p)^i~(i + 1) end{align} ]

那么有

[egin{align} (1 - p)S&=sum_{i = 1}^{infty} (1 - p)^i~i\ &=sum_{i = 1}^{infty} (1 - p)^i~(i + 1) - sum_{i = 1}^{infty} (1 - p)^i end{align} ]

所以只需要求出

[egin{align} T&=sum_{i = 1}^{infty} (1 - p)^i\ end{align} ]

这个也是很容易通过扰动法求出的。（也可以套公式，然后 (a_{infty} ightarrow 0) 所以直接忽略就行）

[egin{align} (1 - p)T&=sum_{i = 2}^{infty} (1 - p)^i\ end{align} ]

((6) - (7)) 就有

[egin{align} pT&=1 - p\ T&=frac{1 - p}{p} end{align} ]

然后 ((3)-(5)) 就变为

[egin{align} pS&=1 + frac{1 - p}{p} \ p^2S &= p + 1 - p\ S &= frac{1}{p^2} end{align} ]

所以最后的 (E_{X}) 为 (displaystyle p imes frac{1}{p^2} = frac{1}{p}) ，证毕。

根据期望方程求解

Hometown 告诉了我一个很巧妙且简短的做法。

可以设出一个期望方程为

[egin{align} E_X = p + (1 - p)(E_X + 1) end{align} ]

其意义为有 (p) 的概率直接在这步成功，剩下 (1 - p) 的概率失败，需要花费 (E_X + 1) 的期望成功。

那么就有

[egin{align} E_X &= p + E_X + 1 - pE_X - p\ E_X &= frac{1}{p} end{align} ]

所以结论成立，证毕。

概率生成函数

看了 ( ext{YMDrangon}) 论文后，意识到这个问题其实就是个经典的掷骰子问题，可以利用概率生成函数解决。

令 (f_i) 为结束时尝试了 (i) 次的概率，其概率生成函数为 (F(i)) 。令辅助数列 (g_i) 为随机序列长度达到 (i) 还未结束的概率，其普通生成函数为 (G(i)) 。

[egin{align} F(x) + G(x) &= 1 + xG(x)\ G(x) (px) &= F(x) end{align} ]

然后我们把 ((16)) 两边求导并代入 (x = 1) 有 (F'(1) = G(1)) ，同样把 (x = 1) 代入 ((17)) 有 (displaystyle F'(1) = G(1) = frac{1}{p}) ，得证。

总结

其实不仅仅是针对这个经典模型来说，对于大部分无限期望的模型这两种方法依然成立。

第一种方法，需要较为细致的数学推理以及对于无限和式的求值方法的掌握。

第二种求法，只需要精巧的列出方程求解就行了。

第三种求法，对于所有的掷骰子模型都有较大作用，并且扩展性较大比较推荐。

其实我就只是复习了一下无限和式的推导方法而已。。。数学课上无聊随便推了一下。。

其实不会证明，大概率也是可以猜出结论的。

无限期望 or 概率如果是收敛的话，常常最后的表达式通常是十分精巧的，能用这三种方法进行推导和证明。