zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 类欧几里得算法

    定义

    这个算法用于求一条直线下整点个数,我们定义

    [F(a, b, c, n) = sum_{i = 0}^{n} lfloor frac{ai + b}{c} floor ]

    其他几个乘系数的扩展不想学了TAT

    推导

    (a ge c)(b ge c)

    (a ge c)(b ge c) 时,我们考虑把分子对 (c) 的商和余数分别提出来,那么有

    [egin{aligned} F(a, b, c, n) &= sum_{i = 0}^{n} ((lfloor frac{(a mod c)i + (b mod c)}{c} floor) i + lfloor frac ac floor i + lfloor frac bc floor)\ &= F(a mod c, b mod c, c, n) + frac{n(n + 1)}{2} lfloor frac ac floor + (n + 1) lfloor frac bc floor end{aligned} ]

    (a < c)(b < c)

    (a < c)(b < c) 时,用几何意义转化为一条直线与 (x)(y) 轴以及 (x = n) 围成直角梯形内的整点个数。

    设上界 (displaystyle m = lfloor frac{an + b}{c} floor) ,那么我们考虑拆式子

    [egin{aligned} F(a, b, c, n) &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 1}^m [lfloor frac{ai + b}{c} floor ge j] \ &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 0}^{m - 1} [lfloor frac{ai + b}{c} floor ge j + 1] \ &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 0}^{m - 1} [(frac{ai + b}{c}) ge j + 1]\ &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 0}^{m - 1} [ai ge jc + c - b]\ &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 0}^{m - 1} [i ge frac{jc + c - b}{a}]\ end{aligned} ]

    很多地方都可以舍掉取整,因为整数和分数比较大小(考虑等于)的时候可以忽略下取整。

    考虑分子减 (1) 换成 (>) 并交换和式:

    [egin{aligned} F(a, b, c, n) &= sum_{i = 0}^n sum_{j = 0}^{m - 1} [i > frac{jc + c - b - 1}{a}]\ &= sum_{j = 0}^{m - 1} sum_{i = 0}^n [i > frac{jc + c - b - 1}{a}]\ &= sum_{j = 0}^{m - 1} (n - frac{jc + c - b - 1}{a})\ &= nm - sum_{j = 0}^{m - 1} frac{jc + c - b - 1}{a}\ &= nm - F(c, c - b - 1, a, m - 1) end{aligned} ]

    然后我们就可以递归处理了。

    复杂度证明

    我们只观察 (ac) 两位,如果 (a > c) 那么 (a mod c) ,否则交换 (ac)

    那么复杂度其实和扩展欧几里得算法是一样的 (mathcal O(log n))

    代码

    (f) 还是比较短的。

    ll f(ll a, ll b, ll c, ll n) {
    	if (!a) return b / c * (n + 1);
    	if (a >= c || b >= c)
    		return f(a % c, b % c, c, n) + (a / c) * n * (n + 1) / 2 + (b / c) * (n + 1);
    	ll m = (a * n + b) / c;
    	return n * m - f(c, c - b - 1, a, m - 1);
    }
    
  • 相关阅读:
    神马搜索 面试小结
    我的第一篇paper
    【转载】技巧:Vim 的纵向编辑模式
    实习求职小结
    将博客园界面打造成Hexo经典主题Light
    试一下Markdown
    四色标记算法
    射雕三部曲的优美片段
    Docker
    Sublime Text 3 文档
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/10601728.html
Copyright © 2011-2022 走看看