2.1 线性映射和矩阵的运算
设 (A) 为 (m imes n) 矩阵
定义映射
根据定义，有如下性质：
- (phi_A(alpha + eta) = phi_A(alpha) + phi_A(eta))
- 集合 ({alpha ~|~ phi_A(alpha) = 0} subseteq mathbb{F}^n) 称为 (phi_A) 的核，记作 (mathrm{Ker} phi_A) ，恰是以 (A) 为系数的齐次线性方程组的解空间
- 映射 (phi_a) 的像 (mathrm{Im} phi_A = {phi_A ~|~ alpha in mathbb{F}^n} subseteq mathbb{F}^m) 恰是 (A) 的列空间。
- 任意给定 (eta in mathbb F^m) 若 (eta otin mathrm{Im} phi_A) 则 (B) 的原像 (phi_A^{-1} (eta) = {alpha in mathbb{F}^n ~|~ phi_A(alpha) = eta}) （亦称为 (phi_A) 的纤维）是空集，即以 ((A, eta)) 为增广矩阵的线性方程组无解。
命题 2.1.2
- (phi_A) 是单射 (Leftrightarrow r(A) = n Leftrightarrow mathrm{Ker} phi_A = 0)
- (phi_A) 是满射 (Leftrightarrow r(A) = m)
定义 2.1.3
一个映射 (varphi: mathbb{F}^n o mathbb{F}^m) 称为线性映射，如果 (varphi (alpha + eta) = varphi(alpha) + varphi(eta), varphi(kalpha) = k varphi(alpha), forall alpha, eta in mathbb F^n, k in mathbb F)
特别地，(m = n) 时称为线性变换。
命题 2.1.4
设 (varphi: mathbb F^n o mathbb F^m) 是一个线性映射，则存在一个矩阵 (mathbb F^n o mathbb F^m) 都具有这种形式。
构造单位矩阵即可
记 (mathrm{Hom}_mathbb F (mathbb{F}^n, mathbb{F}^m) := {mathbb{F}^n 到 mathbb{F}^m的所有线性映射})
推论 2.1.5
存在一个双射
对于 (varphi, psi inmathrm{Hom}_mathbb F (mathbb{F}^n, mathbb{F}^m)) ，定义 (varphi + psi) 如下：
((varphi + psi) (alpha) = varphi(alpha) + psi(alpha), forall alpha in mathbb F^n)
仍然是个线性映射，即 (varphi + psi inmathrm{Hom}_mathbb F (mathbb{F}^n, mathbb{F}^m))
注记 2.1.6
可以验证，(mathrm{Hom}_mathbb F (mathbb{F}^n, mathbb{F}^m)) 可以定义如上的加法运算及数乘运算满足 ( ext{(VS1) - (VS8)}) 。
定义 2.1.7
定义两个矩阵的和和矩阵的数乘与矩阵的乘积，也满足 ( ext{(VS1) - (VS8)}) 。
(phi_B: mathbb{F}^s o mathbb{F}^n, phi_A: mathbb{F}^n o mathbb{F}^m)
它们的合成(phi_A circ phi_B: mathbb{F}^s o mathbb{F}^n o mathbb{F}^m) 有 (C = A B) 使得 (phi_A circ phi_B = phi_C) 。
注记 2.1.8
矩阵的乘积是一个代数运算。
满足结合律、分配率，数乘的结合律。
定义 (n) 阶单位矩阵 和 (n) 阶方阵，以及矩阵的幂。
定义 2.1.10
定义对角矩阵，若 (D = d I_n) 那么 (D) 为纯量矩阵或标量矩阵。
定义 （严格）上/下三角矩阵。
若 (A^T = A) 则 (A) 为对称矩阵，(A^T = -A) 为反对称矩阵。
定义共轭矩阵，以及运算规则：(overline{A + B} = overline{A } + overline{B}; overline{cA} = overline c overline A; overline{AB} = overline A ~overline B)
若 (overline A^T = A) 则称 (A) 为埃尔米特矩阵。
命题 2.1.11
(r(AB) le min {r(A), r(B)})
注记 2.1.12
可将复数域 (mathbb C) 看成 (M_2(mathbb R)) 的子集，
乘法即对应两个 (2) 阶实矩阵的乘积是一致的。
可将四元数体 (mathbb H) 看成 (M_2(mathbb C)) 的子集，也可看成 (M_4(mathbb R)) 的子集。
2.2 可逆矩阵
定义 2.2.1
定义 可逆矩阵、逆矩阵、不可逆的。
注记 2.2.2
- 只有方阵才有逆矩阵的定义，非零方阵不一定可逆
- 可逆矩阵的逆矩阵唯一确定
命题 2.2.3
- ((A^{-1})^{-1} = A)
- ((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1})
- ((cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1})
- ((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T)
注：(A, B) 都为 (n) 阶可逆军阵，则 (A pm B) 不一定可逆，反之也不成立。
定理 2.2.4
(A) 可逆 (Leftrightarrow) (r(A) = n)
(Rightarrow: mathrm r(A) le n = mathrm r(I_n) = r(AB) le r(A))
(Leftarrow:) 等价于 ({e_1, dots, e_n}) 那么可以构造一个线性组合满足这个变换，就可以证明了。
注记 2.2.5
若 (mathrm r(A) = n) 则 (A) 为非退化的，否则 (A) 是退化的。
推论 2.2.6
若 (AB = I_n) 或 (BA = I_n) 则 (A) 可逆且 (B = A^{-1}) 。
那么线性方程组可以表示为 (Ax = eta) ，则唯一解可以表示为 (x = A^{-1} eta) 。
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
定义 2.3.1
设 (A) 可以通过初等变换变成 (B) 那么称 (A) 与 (B) 等价或相抵 ，记作 (A sim B)，矩阵的等价是一个等价关系。
任何一个矩阵 (A) 都等价于矩阵 (egin{pmatrix} I_r & 0\ 0 & 0end{pmatrix}) 其中 (r = mathrm r(A)) ，并称 (B) 是 (A) 在等价下的标准形或相抵标准形。
则可得到 (A sim B Leftrightarrow mathrm r(A) = mathrm r(B)) 因此 (M_{m, n}(mathbb F)) 的等价类个数为 (1 + min{m, n}) 。
定义 2.3.2
对 (I_n) 进行一二三类初等变换得到的矩阵，分别称为一二三类初等矩阵。
有 (P_{ij}^{-1} = P_{ij}, D_i(c)^{-1} = D_i(c^{-1}), T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c))
定理 2.3.3
左乘初等矩阵相当于进行行变换，右乘则为列变换。
推论 2.3.4
若 (A sim B) ，则存在可逆矩阵 (P, Q) 使得 (PAQ = B)
推论 2.3.6
(A) 可逆当且仅当 (A sim I_n) 。
推论 2.3.7
(A) 可逆当且仅当 (A) 可以表示成若干个初等矩阵的矩阵。
推论 2.3.8
设 (A) 是个可逆矩阵，可仅用初等行/列变化把 (A) 化为单位矩阵 (I_n)。
由 (P_m cdots P_1 A = I_n) 可推得 (A^{-1} = P_m cdots P_1 I_n) 则可推出求逆的步骤。
2.4 分块矩阵
定义分块矩阵，及其一些基础运算。
例 2.4.1
设 (P = egin{pmatrix} A & C \ 0 & Bend{pmatrix}) ，(A, B) 可逆，求 (P^{-1}) 。
设 (X) 为逆矩阵，然后有 (PX = egin{pmatrix} I_s & 0 \ 0 & I_tend{pmatrix}) 然后解四个方程即可。
接下来定义分块对角矩阵。
然后定义分块初等变换，对于第二类可以把 (c) 换成可逆矩阵，对于第三类可以把 (c) 换成任意矩阵（如果可以加的话）
然后可以利用这个与矩阵求逆求出 (P^{-1} = egin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\ 0 & B^{-1}end{pmatrix})
例 2.4.2
(mathrm r(A + B) le mathrm r(A) + mathrm r(B))
(mathrm r(A + B) le mathrm r(egin{pmatrix} A & A + B\ 0 & Bend{pmatrix}) = mathrm r(egin{pmatrix} A & 0\ 0 & Bend{pmatrix}) = mathrm r(A) + mathrm r(B))