矩形并（2020强智杯）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9699/H

题目描述：

  Bobo 有一个矩形A。举行的左下角坐标是 (x1, y1)，右上角坐标是 (x2, y2)。设 R(i, j) 是左下角坐标是 (0, 0)，右上角坐标是 (i, j) 的矩形，Area(i, j) 是矩形 A 和矩形 R(i, j) 的并的面积。

给出 a 和 b，求：∑i=1a​∑j=1b​Area(i,j)除以 (109 + 7) 的余数。

输入描述：

输入文件包含多组数据，请处理到文件结束。
每组数据的第一行包含两个整数 a 和 b，第二行包含四个整数 x1, x2, y1, y2.
 · 1 ≤ a, b, x1, x2, y1, y2 ≤ 109
 · x1 < x2 , y1 < y2
 · 数据组数不超过 104

输出描述：

对于每组数据，输出一个整数，表示所求的值。

示例：

输入：
1 1
2 3 2 3
10 10
1 5 1 5
1000000000 1000000000
1 1000000000 1 1000000000

输出：
2
3725
2793

题目分析：

1，先不论题目，本题有一个要求结果 “(10⁹ + 7) 的余数”。

因为如果mod简单的数理论上会增大算法错误但是由于巧合恰好模出相等的数，而AC的概率

而1e9+7这个数是素数，相加不爆int，相乘不爆ll。

所以由于在运算过程中说有数都可能爆ll所以在相加相乘的时候要随时余mod！

2，在算数运算符的左侧如果运算数num都是int类型而运算符右侧都是long long型时，运算符右侧运算数 num 需要 * 1LL

*1LL是为了在计算时，把int类型的变量转化为long long，然后再赋值给long long类型的变量

例如，long long ans = 0;ans是long long类型的,

ans += num * 1LL * (num - 1) / 2;

不至于后面计算溢出，* 1LL之后类型就转换为long long, num变量是定义为int类型的。

3.在写题时，看到阶乘符号，首先想到的是使用while把结果累加。

而实际上可以直接使用数列求和公式直接把结果算出来，从而降低时间复杂度。

代码：

c:

#include<cstdio>
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;

ll all(ll xx, ll yy)
{
    return xx * (xx + 1) / 2 % mod * (yy * (yy + 1) / 2 % mod) % mod;
}
int main()
{
    ll a, b;
    ll x1, y1, x2, y2;
    while (~scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld", &a, &b, &x1, &x2, &y1, &y2))
    {
        ll ans = 0;
        ans += all(a, b) % mod;
        ans = (ans + a * b % mod * (x2 - x1) % mod * (y2 - y1) % mod) % mod;

        if (x1 < a && y1 < b)
        {
            ll x = a - x1, y = b - y1;
            ans = (ans + mod - all(x, y)) % mod;
            if (x2 < a)
            {
                ll xx = a - x2;
                ans = (ans + all(xx, y)) % mod;
            }
            if (y2 < b)
            {
                ll yy = b - y2;
                ans = (ans + all(x, yy)) % mod;
                if (x2 < a)
                {
                    ll xx = a - x2;
                    ans = (ans + mod - all(xx, yy)) % mod;
                }
            }
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}

参考：

https://blog.csdn.net/idrey/article/details/53869954

https://www.zhihu.com/question/26127900