JZOJ 3085. 图的计数

题目

Description

在观察完第一个作业之后你终于开始观察第二个作业了，第二个作业十分无聊，就只是一道题目。

询问有多少个N个点，M条边的有向图，从1号点到达N号点需要经过至少N-1条边。该有向图中可以包含重边和自环。

 

Input

第一行两个整数N,M。

Output

仅一个整数表示答案 mod (10^9+7）。

 

Sample Input

2 2

Sample Output

4

 

Data Constraint

 

 

Hint

对于30%的数据 N<=5,M<=10

对于60%的数据 N<=80,M<=3000

对于100%的数据 1<=N<=10000  1<=M<=100000

 

 

分析

 

• 首先，我们可以看到在这个n个点m条边的有向图中，最短路径是n-1
• 那么我们已经确定了n-1条边，剩下的边肯定不能使最短路径变得更短
• 简单点来说，就是剩下的边不能在n-1最短路径上的边里两两连边，这样的话方案数就很容易算出来了，C(n-1,2)=(n-1)(n-2)/2
• 那么我们就可以把剩下的m-n+1条边随便放入图中，那么就有N*N-C(n-1,2)的一种情况
• 就相当与把n个球放入m个挡板中C(n-m+1,n)
• 答案就是C(n*n-C(n-1,2)-1+m-(n-1),m-(n-1))
• 使用逆元推 m-(n-1)次。最后再乘以(n-2)!，就是答案了。时间复杂度为 O(MlogN+N) 

 

代码

#include<cstdio>
const int md=1000000007;
long long n,m;
long long qsm(long long x,long long t){
    long long s=1;
    while (t>0){
        if (t%2==1) s=s*x%md;
        x=x*x%md;
        t=t/2;
    }
    return s;
}
long long g(long long b,long long d){
    long long v=1;
    for (int i=1;i<=d;i++)v=(b-i+1)*v%md*qsm(i,md-2)%md;
    for (int i=1;i<=n-2;i++)v=v*i%md;
    return v;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    printf("%lld",g(n*n-(n-1)*(n-2)/2+m-n,m-n+1));
    return 0;
}