P3390 矩阵快速幂

 

这个题根据题目也就能知道应该怎么做，但是代码怎么实现矩阵乘法，是一个问题，所以就用到了重载运算符。

重载运算符可以定义一些普通的运算，比如   + ，－，×，÷，%，<，>，!=，……有很多，但不能自己创造符号。

在这个题中，需要定义矩阵乘法，在定义之前，还要定义一个结构体：

struct hls{
    long long s[110][110];
};
hls t,r;
long long k;
int n;
const long long m=1000000007;
hls operator * (const hls &a,const hls &b)
{
    hls w;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            w.s[i][j]=0;
        }
    }
    for(int x=1;x<=n;++x)
    {
        for(int y=1;y<=n;++y)
        {
            for(int z=1;z<=n;++z)
            {
                w.s[x][y]+=a.s[x][z]*b.s[z][y]%m;
                w.s[x][y]%=m;
            }
        }
    }
    return w;
}

结构体中包含一个二维数组，用来表示矩阵。其中第8行之后就是定义重载运算符 * 的代码。

重载运算符语法格式：返回类型（结构体），operator ，定义的符号，后面的括号内再写相应的参数。

比如代码中的a，b。在前面要加 取址符 &，因为如果不加，在程序中就会自行复制 a‘和b’，这样就相当于又开了两个二维数组，不仅耗内存，而且浪费时间。

在大括号内（9—30行）在其中定义结构体 w，用来存储运算后的结果，首先将其清零，接下来用三个for循环，来进行矩阵的乘法运算，

w.s[x][y]就是w结构体中数组第x行，y列的位置，所以在矩阵乘法中，w.s[x][y]的结果就是  a.s的第x行依次与b.s的第y列相乘。所以用三个循环就可以定义矩阵乘法。

m的值为1e9+7，题目要求每个元素对1e9+7取模，所以乘法中应该每步都取模，防止数太大。

重载运算符定义好后，就到了快速幂：

for(int i=1;i<=n;++i)
{
    r.s[i][i]=1;
}
while(k>0) 
{
    if(k%2==1) r=r*t;
    t=t*t;
    k/=2;
}

r是一个单位矩阵，k是指数，while中因为r，t都是hls类型的，所以会自动调用重载运算符。

最终，r 就是结果，输出 r 就可以。

完整代码:

#include<iostream>
using namespace std;
struct hls{
    long long s[110][110];
};
hls t,r;
long long k;
int n;
const long long m=1000000007;
hls operator * (const hls &a,const hls &b)
{
    hls w;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            w.s[i][j]=0;
        }
    }
    for(int x=1;x<=n;++x)
    {
        for(int y=1;y<=n;++y)
        {
            for(int z=1;z<=n;++z)
            {
                w.s[x][y]+=a.s[x][z]*b.s[z][y]%m;
                w.s[x][y]%=m;
            }
        }
    }
    return w;
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            cin>>t.s[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        r.s[i][i]=1;
    }
    while(k>0) 
    {
       if(k%2==1) r=r*t;
       t=t*t;
       k/=2;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            cout<<r.s[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}