单源最短路 狄克斯特拉算法

一般形式的用邻接矩阵来实现dijkstra效率比较低，我这里直接记录的是用邻接表的方法以及用优先队列加以应用。

首先解释什么是dijkstra算法

dijkstra算法

dijkstra算法适用于求单源最短路，即可以求出起点到其余各点之间的最短路。它的算法实现是一个不断更新的过程。

举一个最简单的例子，假设有这么一个图，红色表示权值，黑色表示4个点以及路径，我们假设起点为1，用d[i]来表示1到i的最短路，那么在第一轮的时候，d[2]=1,d[3]=1,d[4]=5，再下一轮的时候会对这个情况进行更新，结果为d[2]=1,d[3]=1,d[4]=4,以此类推，会一直更新到d[2]=1,d[3]=1,d[4]=3为止，所以我认为该算法是一个不断更新的过程。

邻接表表示法

邻接表表示法我们使用vector以及pair两种工具，可以极大的节省空间以及算法实现中遍历搜索的时间，举一个例子

该图的邻接表表示为，具体实现可以看代码

洛谷P1346

解题思路大概就是把默认指向的轨道的权值设为0，需要开关的轨道权值设为1。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
#include <string.h>
using namespace std;
#define ll long long
static const int WHITE=0;//未选
static const int GRAY=1;//备选
static const int BLACK=2;//已选
static const int INFTY=(1<<20);
int N,A,B;
vector<pair<int,int> > adj[105];//加权图的邻接表表示法
void dijkstra()
{
    priority_queue<pair<int,int> > que;//用优先队列，first表示路径成本，second表示路口
    int color[105],d[105];
    for(int i=1;i<=N;i++)//初始化
    {
        d[i]=INFTY;
        color[i]=WHITE;
    }
    d[A]=0;//设置起点
    que.push(make_pair(0,A));
    color[A]=GRAY;
    while (!que.empty())
    {
        pair<int,int> f=que.top();
        que.pop(); 
        int u=f.second;
        color[u]=BLACK;
        if(d[u]<f.first*(-1))//取出最小值，若不是最短路则忽略
        continue;
        for(int j=0;j<adj[u].size();j++)//更新最短路
        {
            int v=adj[u][j].first;
            if(color[v]==BLACK)
            continue;
            if(d[v]>d[u]+adj[u][j].second)
            {
                d[v]=d[u]+adj[u][j].second;
                que.push(make_pair(d[v]*(-1),v));//因为优先队列默认优先较大值，所以乘以-1
                color[v]=GRAY;
            }
        }
    }
    if(d[B]==INFTY)
    cout<<"-1"<<endl;
    else
    {
        cout<<d[B]<<endl;
    }
    
}
int main()
{
    //freopen("C:\Users\16599\Desktop\in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&N,&A,&B);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int K,a;
        scanf("%d",&K);
        if(K!=0)//注意k可能为0
        {
            scanf("%d",&a);
            adj[i].push_back(make_pair(a,0));//表示第i个路口默认通向第a个路口，权值为0        
        }
        for(int j=2;j<=K;j++)
        {
            scanf("%d",&a);
            adj[i].push_back(make_pair(a,1));//表示第i个路口通向第a个路口需要按开关，权值为1
        }
    }
    dijkstra();
    return 0;
}

 洛谷P1339

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
#include <string.h>
using namespace std;
#define ll long long
static const int WHITE=0;
static const int GRAY=1;
static const int BLACK=2;
static const int INFTY=(1<<20);
int T,C,TS,TE;
vector<pair<int,int> > adj[2505];
void dijkstra()
{
    priority_queue<pair<int,int> > que;
    int color[2505],d[2505];
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        d[i]=INFTY;
        color[i]=WHITE;
    }
    d[TS]=0;
    que.push(make_pair(0,TS));
    color[TS]=GRAY;
    while (!que.empty())
    {
        pair<int,int> f=que.top();
        que.pop(); 
        int u=f.second;
        color[u]=BLACK;
        if(d[u]<f.first*(-1))
        continue;
        for(int j=0;j<adj[u].size();j++)
        {
            int v=adj[u][j].first;
            if(color[v]==BLACK)
            continue;
            if(d[v]>d[u]+adj[u][j].second)
            {
                d[v]=d[u]+adj[u][j].second;
                que.push(make_pair(d[v]*(-1),v));
                color[v]=GRAY;
            }
        }
    }
        cout<<d[TE]<<endl;
}
int main()
{
    //freopen("C:\Users\16599\Desktop\in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d%d",&T,&C,&TS,&TE);
    while(C--)
    {
        int rs,re,ci;
        scanf("%d%d%d",&rs,&re,&ci);
        adj[rs].push_back(make_pair(re,ci));
        adj[re].push_back(make_pair(rs,ci));
    }
    dijkstra();
    return 0;
}