图中长度为k的路径的计数

Problem Description

题目给出一个有n个节点的有向图，求该有向图中长度为k的路径条数。方便起见，节点编号为1,2,…,n，用邻接矩阵表示该有向图。该有向图的节点数不少于2并且不超过500.

例如包含两个节点的有向图，图中有两条边1 → 2 ,2 → 1 。

长度为1的路径有两条：1 → 2 和 2 →1 ；

长度为2的路径有两条：1 → 2 → 1和2 → 1 → 2 ；

偷偷告诉你也无妨，其实这个图无论k取值多少 ( k > 0 )，长度为k的路径都是2条。

Input

每组输入第一行是有向图中节点的数量即邻接矩阵的行列数n和Ｋ。接下来n行n列为该图的邻接矩阵。

Output

输出一个整数，即为图中长度为k的路径的条数。

样例输入

4 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

样例输出

6

解法：假设从Ｕ出发到Ｖ的长度为Ｋ的路径总数为Ｇｋ［Ｕ］［Ｖ］，那么ｋ＝１时和边值相同，因此Ｇ１就等于图的邻接矩阵．

假设已经得到Ｇｋ１和Ｇｋ２，那么Ｇ（ｋ１＋ｋ２）　＝　Ｇｋ１＊Ｇｋ２．

Ｇｋ　＝　（Ｇ１）＾ｋ．

所以此时候就可以用矩阵快速幂来进行求解．

#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long int
#define mod 10007
using namespace std;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

mat mul(mat &a,mat &b){
    mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++){
        for(int j=0;j<b[0].size();j++){
            for(int k=0;k<b.size();k++){
                c[i][j] = (c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]);
            }
        }
    }
    return c;
}

mat pow(mat a,int n){
    mat c(a.size(),vec(a.size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++)
        c[i][i] = 1;
    while(n){
        if(n&1)
            c = mul(c,a);
        a = mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return c;
}

int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    mat a(n,vec(n));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    a = pow(a,k);
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            ans+=a[i][j];
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}