f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：
（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)
（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))
（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))
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1 //杭电1098Ignatius's puzzle 2 #include<stdio.h> 3 int main() 4 { 5 int k,i,flag; 6 while(scanf("%d",&k)!=-1) 7 { 8 for(i=1;i<66;i++) 9 { 10 if(i*k%13==8&&i*k%5==2) 11 { 12 flag=i; 13 break; 14 } 15 else 16 flag=0; 17 } 18 if(flag) 19 printf("%d\n",flag); 20 else 21 printf("no\n"); 22 } 23 return 0; 24 }
（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)