[学习笔记]最小生成树

Minimum Spanning Tree

生成树
　　如果连通图G的一个子图是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树(Spanning Tree)。
       图的生成树不惟一。
最小生成树

　　生成树T各边的权值总和称为该树的权;权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。最小生成树可简记为MST。

MST性质：

　　假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U，v ∈V-U，则最小生成树中必包含边(u,v)。

　　证明（反证法）：(u,v)是一条具有最小权值（代价）的边，如果最小生成树不包含它，势必要包含其他边，以使U和V-U两个集合连通。无论是包含其他边中的哪一条，其权值都会比(u,v)更大，导致总的权值之和也更大。

算法：

　　算法一：

　　　　Prim算法（普里姆算法）

　　　　基本思想：取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。

　　　　适用于稠密图。

　　算法二：

　　　　Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）

　　　　基本思想：考虑问题的出发点: 为使生成树上边的权值之和达到最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能地小。具体做法: 先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。

　　　　适用于稀疏图。

以下是代码：

void Prim(int n, int **weight)
{
    int lowest_weight[n+1];
    int closest_vertex[n+1];
    bool has_been_added[n+1];
    has_been_added[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i++)                // 初始化
    {
        lowest_weight[i] = weight[1][i];
        closest_vertex[i] = 1;
        has_been_added[i] = false;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int lowest_weight_of_all_edges = inf;    // 把当前最小权定义为无限大
        int vertex_will_be_added = 1;
        for (int j = 2; j <= n; j++)            // 找出本次添加的点
        {
            if ((!has_been_added[j])&&(lowest_weight[j]<lowest_weight_of_all_edges))
            {
                lowest_weight_of_all_edges = lowest_weight[j];
                vertex_will_be_added = j;
            }
        }
        has_been_added[j] = true;
        cout<<"this time we add : "<<vertex_will_be_added<<" by "<<closest_vertex[vertex_will_be_added]<<endl;
        for (int j = 2; j <=n ; j++)            // 更新最小权
        {
            if ((!has_been_added[j])&&(weight[vertex_will_be_added][j]<lowest_weight[j]))
            {
                lowest_weight[j] = weight[vertex_will_be_added][j];
                closest_vertex[j] = vertex_will_be_added;
            }
        }
    }
}

 kruskal代码待更新。