群
群的定义
((i):forall a in G,exists a^{-1},a cdot a^{-1}=e)
((ii))封闭性,可逆性，结合性
群的判定定理：
(forall a,bin G,exists x,y,ax=b quad and quad ya=b){证明这个的话，我们只需取a,a的话,我们就可以先把单位元确定了，然后利用性质自然逆元就得到了}
性质：
在群里消去律是成立的
半群的定义：
半群只要求满足结合律(幺半群有单位元)
设G是一个群，H是G的一个非空子集,如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群 ,记为(H<G)
交换群
(forall a,b in G,ab=ba)
子群
定义和例子
一个简单的方法来拆分任何带有一系列公理的数学结构的方法，来研究同样带有公理的数学结构。我们开始这个工程来研究群的子群。
第二个拆分数学结构的方法就是来研究它的商结构，商群的概念，这是一个方式来拆分一个群变成更小的群(我们将在下一个章节学习)
子群的定义
G为群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在积和逆运算下是封闭的。如果H是G的子群，我们记做(H < G)
例子
((ii))每一群G其实都有两个平凡的子群(H=G,H={1})
推论
(子群的标准:)(H)是(G)的子群，当且仅当：
((i)H eq varnothing)
((ii) forall x,y in H,xy^{-1} in H)
如果H是有限的，我们需要确定H的封闭性
证明：
首先指出这个证明是双向的，然后我们考虑，其实对于一个a来说，就有(x^{-1}x=e)的事实，我们这样就能得到(e)这个很重要的元素在(H)中，然后对于每个(a)来说，(ea^{-1})同样也在里面，我们就可以确认每个元素的逆元也在里面，显然群的性质就已经确认了(这个推论确实简化了子群的判别，子群的判别说到底是涉及了两个集合，(G,H)，推论从(H)里面出发，然后确定(G)与(H)的关系)
陪集和正规子群
陪集：
(H<G)
(a H={a h | forall h in H})
正规子群：
(forall a in G quad a H=H a)
则我们记作(H riangleleft G)
关于正规子群的等价性命题：
$$forall a in G,aHa^{-1}=H$$
$$forall a in G,aHa^{-1}subseteq H$$
$$forall a in G,h in H,aha^{-1}in H$$
商群
商群的概念结合了陪集与正规子群
(如果 H riangleleft G quad ,)
(G/H)称为商群
群同态与同构
群同态
(f:(G,cdot)
ightarrow(H, riangle)，
f(g_{1}cdot g_{2})=f(g_{1}) riangle f(g_{2})))
f为单射 (
ightarrow)单同态
f为满射 (
ightarrow)满同态
f为双射 (
ightarrow)同构
单位元具有唯一性:
(fleft(e_{1}
ight)=fleft(e_{1}^{2}
ight)=fleft(e_{1}
ight) Delta fleft(e_{1}
ight)=left[fleft(e_{1}
ight)
ight]^{2})
群同构基本定理
f :G(
ightarrow H)
(G,(cdot))(
ightarrow(H, riangle))
(frac{G}{Kerf}cong Imf)
(left{Kerf=g|f(g)=e_{H}
ight} quad and quad Imf=left{f(g)|g in G
ight})}
从单射开始说起，
令gKerf=(ar{g})
第二同构定理：(Hig/(H cap K) cong HKig/K)
群同构第三定理
(G ig/ H cong (Gig/K)igg/(Hig/K))
循环群分类定理
Cayley定理
任何一个群都同构于一个对称群的子群
Lagrange定理
(H<G)
G为有限群的情况，H的阶整除G的阶
素数阶的群一定是循环群?
群的作用
G为一个群,(G eq varnothing)
(varphi:G imes S ightarrow S)
((i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s)))
((ii):e(s)=s ,forall s in S)
我们引入轨道的概念：(O_{x}={gx|gin G})
我们来证明：$forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)
(O_x cap O_y eq varnothing)
任取(z in O_x cap O_y),存在(g_1,g_2 in G),使得(gx=z=gy)
(y=g_2^{-1}g_1x in O_x)(这里我们要注意一些概念：(O_{x}={gx|forall gin G}))由此得到：(O_y subset O_x,同理可证O_x subset O_y ightarrow O_x =O_y)
由于(O_{x}={gx|forall gin G})
这里我们注意一个事实，尽管( ho)是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。
这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：(|g(x)|=X),而不是(|G|=|X|)
我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。
我们定义(varphi:g(x)=gxg^{-1},forall g in G)
我们有这样的事实：
((i)e(x)=exe^{-1})
((ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1})
我们很容易提出问题：(|G|?=|O_x|？=|G imes X|)
？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则(g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s)))
我们首先要注意事实：(|G|)和(|O_x|)在大多时候的阶数是不一样的
我们先来看看轨道稳定子定理：
我们定义稳定子：(S_x={gx=x})
那么有这样的事实：( ho: O_x ightarrow G ig/S_x)
(gx ightarrow gS_x)
那么我们(O_x)到(G ig/ S_x)的一一映射
这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义(|G|)与(|O_x|)的关系
我们先来证明轨道稳定子定理：
((i) ho 为单射： ho(g_1 x)= ho(g_2x) ightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x)
(g_1^{-1}g_2 in S_x,g_1^{-1}g_2x=x)
我们得到了很重要的结论：(|G|=|S_x||O_x|)
我们来看看一个群作用：
多项式：(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1)的对称变换的群
(X={x_1,x_2,x_3,x_4}),G作用在X上，( au=(1,2,3,4))
！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量(|X|)的阶数，
(|X|=sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]),其中(x_i)取遍不同轨道的代表元素
我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，
(G imes G ightarrow G),我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：(g_1(g_2) ightarrow g),这里我们采用共轭作用，群(G)作用在自身
(x in G,O_x={gxg^{-1}|g in G},S_x={g in G|gxg^{-1}=x})
我们通常把(O_x)称为x所在的共轭类，(S_x)称为中心化子
所以我们得到了一个重要的定理：
(|G|=sum_{x}|G:C(x)|)，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，
(|G:C(x)|=1)(x为中心元素的共轭类)
(G)为有限群，(|G|=|C(G)|+sum_{x}|G:C(x)|)
(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)
推论：Cauchy定理：如果(G)为一个有限群，(|G|=n),对于n每一个素因子p，(G)都有阶为p的元素
Sylow定理
环
环的定义
((i)(mathbb{R},+))构成一个交换群
((ii)(R,cdot))满足结合律
((iii)(R,+,cdot))满足分配律
若环K中没有零因子，则消去律成立
交换环
若(ab=ba,forall a,b in R)交换环
子环
((R,+,cdot))是一个环,S为R的一个非空子集，S关于R的运算成环，则称S为R的子环
((R,+,cdot))是一个环,S为R的一个非空子集，则S为R的子环的充分必要条件：
(i)(S,+)为(R,+)的加法子群
(ii)(forall a,b in S
ightarrow ab in S)
域,除环,体
零因子:
(a
eq 0,exists b
eq 0,使得ab =0)
这里我们注意，零因子的概念重要性从反面而言，是很显然的，在日常生活中的常用的代数结构，(mathbb{R})，除开零元来看的话，都是没有零因子这种代数结构的
这里注意零因子与零元不是一个概念(我们日常使用的代数系统都是无零因子环很多，满足环的消去律)
无零因子环
无零因子环:我们把没有零因子，有单位元e的环称为无零因子环
{整环}
一个没有零因子，有单位元e的交换环R称作整环
高斯整环:(Z[i])
((R,+,cdot))满足结合律，则称为域
oindent 四元数体(Hamilton quaternion field)=(left{a+bi+cj+dk|a,b,c,din R
ight})
除环}
R有单位元(e
eq 0)的环，在环中非零元都可逆
域}
F为一个有单位元的交换环，如果每个非零元都可逆，则称为域
(Q sqrt[3]{2})
环同态
设(R_{1},R_{2})为两个环，
若f满足：
(i)(f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2}))
(ii)(f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2}))
理想
R为环，I为R的非空子集，如果I满足：
((i)forall r_{1},r_{2}in I,r_{1}-r_{2}in I)
((forall r in R,forall i in I),ri in I)称为左理想(ir in T)称为右理想
根理想：设I为交换环R的一个理想，定义集合：
(Rad(I)={r in R|存在整数n，使得r^{n}in I})
证明(Rad(I)是R)的理想
(这里我们要注意理想的概念)
考察(r_1,r_2)
若(r_{1}^n in I,r_2^m in I)
考虑((r_1-r_2)^{m+n})
这里我们主要考虑(sum_{k=1}^{m+n}r_1^kr^{m+n-k})
根据理想的性质，(r_1和r_2根据次方总有一个满足其中一个属于理想)
不妨设(r^k in I),根据(sI subset I),显然((r_1-r_2)^{m+n} in I)
商环
环R,理想I,在(R,+)的商集(R igg/ I = {r+I|r in R })上
主理想
R为环, (forall a in R,),则(a)=由a生成的理想，称为主理想
这个概念比较麻烦，我们康康一个例子，
设R为有单位元的交换环，则主理想：((a)={ra|r in R})
(i)首先证明(a)为R的一个子环，
(forall alpha,eta in (a),
ightarrow alpha =r_{alpha}a,eta= r_{eta}a)
我们利用子环的判定定理
易知(alpha - eta =(r_{alpha}-r_{eta})a in (a))
(alpha eta =r_{alpha}r_{eta}aa in (a))((r_{alpha}r_{eta} sim r))
(ii)我们还要考虑一些事情：(a)本身为理想，
(forall ar{r} in R, ar{r}(a)= lbrace ar{r}ra
brace)
$ar{r}(a) subset (a) $
极大理想与素理想
极大理想
R为交换环，M为R的真理想,对R的任一包含M的理想N ( ightarrow N=M quad Or quad N=R)
素理想
R为交换环,P为R的真理想,如果(forall a,bin R),由 (abin P ightarrow a in P quad Or quad b in P)
R为一个有单位元的交换环,则R的每个极大理想都是素理想
主理想环
环的每一个理想都是主理想
除环，域都是主理想
主理想整环
多项式整环
(f{R}(x),+,( imes))
(P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots+a_{1}x+a_{0})
域
域的扩张
(K subset mathbb{F}),为两个域，称(mathbb{F})为K的扩域
代数元，超越元
代数元
设(mathbb{F})是一个域,称(alpha)为代数数，若存在一个多项式f(x)(in mathbb{F}[x] ,s.t. f(alpha)=0)
极小多项式
(mathbb{F})为域,
极小多项式不可约
习题
群
(A)为交换群，然后固定(n in mathbb{Z})我们证明下面的集合是A的子群：
((a){a^n|a in A})
((b){a in A |a^n =1})
证明(:(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n})(利用交换群性质，把(a,b)弄得更加紧凑),然后根据群的性质,(ab^{-1} in A),((ab^{-1})^{n} subset A)
((2)) ((a b)^{m n}=underbrace{(a b)(a b) cdots(a b)}_{m n ext { times }}=a^{m n} b^{m n}),利用交换群性质，把(a,b)弄得更加紧凑，由于(a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e)
证明正规子群的等价性命题:
$$forall a in G,aHa^{-1}=H$$
$$forall a in G,aHa^{-1}subseteq H$$
$$forall a in G,h in H,aha^{-1}in H$$
我们从这里证明正规子群，
(ah=aha^{-1}a=(aha^{-1})a subset Ha)
(forall a in G ,a^{-1}h(a^{-1})^{-1} in H ,
ightarrow ha in aH,Ha subset aH
)}
f:(G
ightarrow H)群同态
则$ Kerf riangleleft G$
{(forall gkg^{-1} in g Kerf g^{-1} \ f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1}) \ =f(g)e_{H}[f(g)]^{-1}=e_{H} \ gkg^{-1} in Kerf(gKerfg^{-1}subset Kerf))}
证明群同态基本定理f :G(
ightarrow H)
((G,cdot)
ightarrow(H, riangle))
(frac{G}{Kerf}cong Imf)
{Kerf显然是正规子群,}
设$C(G)= { a in G|forall g in G,ag=ga } $,是群G的中心，证明：如果G/C(G)是循环群，则G是Abel群
简要证明Sylow定理(1,2,3)
设 G 的阶为 168, G 中有多少个阶为 7 元素
环
在(mathbb{Z}_{2}[x])中多项式(x^3+x^2+1)是不可约的，并利用这一结论构造一个有8个元的有限域