数学分析总结

极值问题

非条件极值

条件极值

重积分

重积分的变量代换

柱面坐标代换

[ left{ egin{aligned} x & = & rcos( heta) \ y & = & rsin( heta) \ z & = & z end{aligned} ight. ]

球面坐标代换

[ left{ egin{aligned} x & = & rsin(varphi)cos( heta) \ y & = & rsin(varphi)sin( heta) \ z & = & rcos(varphi) end{aligned} ight. ]

反常重积分

Poisson积分：
(int_{0}^{infty}e^{-x^2}dx=frac{sqrt{pi}}{2})
利用(iint_{R^2}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy)

曲面积分

第一类曲线积分和第二类曲线积分

第二类曲面积分和第二类曲面积分

Green公式

(int_{alpha D}Pdx+Qdy=iint_{D} (frac{alpha Q}{alpha x}-frac{alpha P}{alpha y})dxdy)

Gauss公式

(iiint_{Omega} (frac{alpha P}{alpha x}+frac{alpha Q}{alpha y}+frac{alpha R}{alpha z})dxdydz)

Stokes公式

含参变量积分

含参变量常义积分

(I(y)=int_{a}^{b}f(x,y)dx quad yin[c,d])
积分次序交换顺序 (int_{c}^{d}dyint_{a}^{b}f(x,y)dx=int_{a}^{b}dxint_{c}^{d}f(x,y)dy)
习题：
(1)(I=int_{0}^{1}frac{x^{b}-x^a}{lnx}dx,b>a>0)
((int_{a}^{b}x^{y}dy=frac{x^{b}-x^a}{lnx}))
(int_{0}^{1}dxint_{a}^{b}x^{y}dy=int_{a}^{b}dyint_{0}^{1}x^{y}dx)(展开(x^{y})})=(int_{a}^{b}frac{1}{1+y}dy=frac{ln(1+b)}{ln(1+a)})
(2)
含参变量反常积分

Fourier 级数

函数的Fourier级数的展开

我们探讨这样一个问题：
假设(f(x)=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_{k}coskt+b_{k}sinkt)
(a_{0}=)
(a_{n}=frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) cos n x mathrm{d} x, quad n=0,1,2, cdots)
(b_{n}=frac{1}{pi} int_{-x}^{pi} f(x) sin n x mathrm{d} x, quad n=1,2, cdots)
我们称为Euler--Fourier公式