样本分布

样本既然是随机变量, 就有一定的概率分布, 这个概率分布就叫作样本分布. 样本分布是样本所受随机性影响的最完整的描述.
要决定样本分布, 就要根据观察值的具体指标的性质 (这往往涉及有关的专业知识), 以及对抽样方式和对试验进行的方式的了解, 此外常常还必须加一些人为的假定

EX1:

一大批产品共有 (N) 个, 其中废品 M 个, $N $已知, 而 M 未知. 现在从中抽出 (n) 个加以检验, 用以估计 M 或废品率 (p = frac{M}{N})
(1) 有放回抽样, 即每次抽样后记下结果, 然后将其放回去, 再抽第二个, 直到抽完 $n $个为止. 求样本分布.
(2) 不放回抽样, 即一次抽一个, 依次抽取, 直到抽完 (n) 个为止.求样本分布.

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(Pleft(X_{i}=1 ight)=M / N, Pleft(X_{i}=0 ight)=(N-M)/N)

(Pleft(X_{1}=x_{1}, cdots, X_{n}=x_{n} ight)=left(frac{M}{N} ight)^{a}left(frac{N-M}{N} ight)^{n-a})

(x_1,dots,x_n)都为0或者1，(sumlimits_{i=1}^{n}x_i=a)

采用不放回抽样，

(sumlimits_{i=1}^{n}x_i=a)，(x_1,dots,x_n)都为0或者1

(Pleft(X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, cdots, X_{n}=x_{n} ight))
(=underbrace{frac{M}{N} cdot frac{M-1}{N-1} cdots frac{M-a+1}{N-a+1} }_{x_i=1}cdot underbrace{frac{N-M}{N-a} cdots frac{N-M-n+a+1}{N-n+1}}_{x_i=0})

EX2:

为估计一物件的重量 a, 用一架天平将它重复称 n 次, 结果记为(X_{1}, cdots, X_{n}) , 求样本(X_{1}, cdots, X_{n}) 的联合分布.

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(1) 假定各次称重是独立进行的, 即某次称重结果不受其它次称重结果的影响. 这样 (X_{1}, cdots, X_{n})就可以认为是相互独立的随机变量.
(2) 假定各次称重是在 “相同条件” 下进行的, 可理解为每次用同一天平, 每次称重由同一人操作, 且周围环境 (如温度、湿度等)都相同. 在这个假定下, 可认为 (X_{1}, cdots, X_{n}) 是同分布的. 在上述两个假定下, (X_{1}, cdots, X_{n}) 是 n 个独立同分布的随机变量, 即为简单随机样本.

由概率论中的中心极限定理可知这种误差近似服从正态分布. 再假定天平没有系统误差, 则可进一步假定此误差为均值为 0 的正态分布. 可以把X 1 (它可视为物重 a 加上称量误差之和) 的概率分布为 (Nleft(a, sigma^{2} ight))

(fleft(x_{1}, cdots, x_{n} ight)=(sqrt{2 pi} sigma)^{-n} exp left{-frac{1}{2 sigma^{2}} sum_{i=1}^{n}left(x_{i}-a ight)^{2} ight})

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正态总体样本均值和样本方差的分布

设随机变量(X_{1}, cdots, X_{n} i.i.d. sim Nleft(a, sigma^{2} ight), quad c_{1}, c_{2}, cdots, c_{n})为常数

(T=sumlimits_{k=1}^{n} c_{k} X_{k} sim Nleft(a sum_{k=1}^{n} c_{k}, sigma^{2} sum_{k=1}^{n} c_{k}^{2} ight))

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(c_{1}=cdots=c_{n}=1 / n,T=frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_{i}=ar{X})

(ar{X} sim Nleft(a, sigma^{2} / n ight))

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