群的作用

群的作用

G为一个群,(G eq varnothing)

(varphi:G imes S ightarrow S)

((i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s)))

((ii):e(s)=s ,forall s in S)

我们引入轨道的概念：(O_{x}={gx|gin G})

我们来证明：$forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)

(O_x cap O_y eq varnothing)

任取(z in O_x cap O_y),存在(g_1,g_2 in G),使得(gx=z=gy)

(y=g_2^{-1}g_1x in O_x)(这里我们要注意一些概念：(O_{x}={gx|forall gin G}))由此得到：(O_y subset O_x,同理可证O_x subset O_y ightarrow O_x =O_y)

由于(O_{x}={gx|forall gin G})

这里我们注意一个事实，尽管( ho)是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：(|g(x)|=X),而不是(|G|=|X|)

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义(varphi:g(x)=gxg^{-1},forall g in G)

我们有这样的事实：

((i)e(x)=exe^{-1})

((ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1})

我们很容易提出问题：(|G|?=|O_x|？=|G imes X|)

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则(g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s)))

我们首先要注意事实：(|G|)和(|O_x|)在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子：(S_x={gx=x})

那么有这样的事实：( ho: O_x ightarrow G ig/S_x)

(gx ightarrow gS_x)

那么我们(O_x)到(G ig/ S_x)的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义(|G|)与(|O_x|)的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

((i) ho 为单射： ho(g_1 x)= ho(g_2x) ightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x)

(g_1^{-1}g_2 in S_x,g_1^{-1}g_2x=x)

我们得到了很重要的结论：(|G|=|S_x||O_x|)

我们来看看一个群作用：

多项式：(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1)的对称变换的群

(X={x_1,x_2,x_3,x_4}),G作用在X上，( au=(1,2,3,4))

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量(|X|)的阶数，

(|X|=sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]),其中(x_i)取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

(G imes G ightarrow G),我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：(g_1(g_2) ightarrow g),这里我们采用共轭作用，群(G)作用在自身

(x in G,O_x={gxg^{-1}|g in G},S_x={g in G|gxg^{-1}=x})

我们通常把(O_x)称为x所在的共轭类，(S_x)称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

(|G|=sum_{x}|G:C(x)|)，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

(|G:C(x)|=1)(x为中心元素的共轭类)

(G)为有限群，(|G|=|C(G)|+sum_{x}|G:C(x)|)

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果(G)为一个有限群，(|G|=n),对于n每一个素因子p，(G)都有阶为p的元素