zoukankan      html  css  js  c++  java
  • polay计数原理

    公式:

    Burnside引理: 1/|G|*(C(π1)+C(π2)+C(π3)+.....+C(πn));

    C(π):指不同置换下的等价类数。例如π=(123)(3)(45)(6)(7),X={1,2,3,4,5,6,7};那么C(π)={3,6,7}共3个等价类。

    Polya定理: 1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)).

    设G={π1,π2,π3........πn}是X={a1,a2,a3.......an}上一个置换群, 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数。

    eg:

    POJ2409 Let it Bead

    http://poj.org/problem?id=2409

    题意:

    有一个n长的项链,用m种颜色对其染色,有多少中不同的染色方法,项链可以旋转或者翻转。

    思路:

    用polya计数法,

    对于旋转:每种旋转的循环节数就是gcd(i,n).

    对于翻转:奇数时,按一个点与对边的轴翻转,循环节就是(n+1)/2,有n种。

                      偶数时,可以以两条对边翻转,循环节数就是n/2,可以以两对点翻转,循环节数就是(n+2)/2 ,分别有n/2种

    代码:

    long long n,m;
    long long  flag,sum,ave,ans,res;
     
    long long gcd(long long x,long long y)
    {
        return y?gcd(y,x%y):x;
    }
    long long power(long long x,long long k)
    {
        long long ans = 1;
        while(k)
        {
            if(k & 1) ans *= x;
            x *= x;
            k >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        int i,j,k,kk,t,x,y,z;
        while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF&&n)
        {
            sum=0;
            for(i=1;i<=n;i++)
                sum+=power(m,gcd(n,i));
            if(n&1)sum+=(n*power(m,(n+1)/2));
            else sum+=(n/2*power(m,(n+2)/2)+n/2*power(m,n/2));
            sum/=(2*n);
            printf("%lld
    ",sum);
        }
        return 0;
    }

    gym-101873B Buildings(polya计数)

    ll qfast(ll x,ll y)
    {   
        ll ans=1;
        while(y)
        {
            if(y&1) ans=ans*x%mod;
            x=x*x%mod;
            y>>=1;
        }
        return ans%mod;
    }
    void run()
    {
        ll n=rdll(),m=rdll(),c=rdll();
        ll x=qfast(c,n*n);
        ll ans=0;
        for(ll i=1;i<=m;i++)
        {
            ans+=qfast(x,__gcd(i,m));
            ans%=mod;
        }
        ans*=qfast(m,mod-2);
        printf("%lld
    ",ans%mod);
    }
    signed main()
    {    
    //  int t=rd();
    //    while(t--) 
        run();
        return 0;
    }
  • 相关阅读:
    C#中的语言记忆功能
    C#中 文件的打开及保存
    无边框窗体设置
    Windows获取浏览器中存储的明文密码
    (CVE-2020-17530)Struts2 S2-061漏洞复现
    (CVE-2020-14882​&14883)Weblogic RCE复现
    内网渗透学习-信息收集篇
    Spring Boot Actuator H2 RCE复现
    Linux解压文件
    Windows本地提权
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zpj61/p/14345435.html
Copyright © 2011-2022 走看看