P1919 【模板】A*B Problem升级版 /// FFT模板

题目大意：

给定l，输入两个位数为l的数A B

输出两者的乘积

FFT讲解 这个讲解蛮好的 就是讲解里面贴的模板是错误的

struct cpx {
    double x,y;
    cpx(double _x=0.0,double _y=0.0) {
        x=_x; y=_y;
    }
    cpx operator -(const cpx &b) const {
        return cpx(x-b.x,y-b.y);
    }
    cpx operator +(const cpx &b) const {
        return cpx(x+b.x,y+b.y);
    }
    cpx operator *(const cpx &b) const {
        return cpx(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};

void change(cpx a[],int len) /// 位置互换 len必须是2的幂
{
    for(int i=1,j=len/2;i<len-1;i++) {
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=len/2;
        while(j>=k) j-=k, k>>=1;
        if(j<k) j+=k;
    }
}

#define PI acos(-1)
void fft(cpx a[],int len,int on)/// len必须是2的幂 on为1时dft -1时idft
{
    change(a,len);
    for(int i=1;i<len;i <<= 1) {
        cpx wn(cos(PI/i),on*sin(PI/i));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) {
            cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
                cpx u=a[j+k], v=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=u+v, a[j+k+i]=u-v;
            }
        }
    }
    if(on==-1) {
        for(int i=0;i<len;i++)
            a[i].x/=len;
    }
}

 题解讲解

struct cpx {
    double x,y;
    cpx(double _x=0.0,double _y=0.0) {
        x=_x; y=_y;
    }
    cpx operator - (const cpx &b)const {
        return cpx(x-b.x,y-b.y);
    }
    cpx operator + (const cpx &b)const {
        return cpx(x+b.x,y+b.y);
    }
    cpx operator * (const cpx &b)const {
        return cpx(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
void fft(cpx a[],int on)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1) {
        cpx wn(cos(PI/i),on*sin(PI/i));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) {
            cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
                cpx u=a[j+k], v=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=u+v, a[j+k+i]=u-v;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    ......
    while(len<d*2) len <<= 1, l++; // 将长度补到2的幂
    for(int i=0;i<len;i++)
        r[i]=( r[i>>1]>>1 )|( (i&1)<<(l-1) );
    ......
}

这题是把两个数看成

A=a1*10^0+a2*10^1+a3*10^2...+al*10^(l-1)

B=b1*10^0+b2*10^1+b3*10^2...+bl*10^(l-1)

的形式

这样就变成了多项式相乘

#include <bits/stdc++.h>
#define PI acos(-1)
#define MAXN 300004
using namespace std;

struct cpx{
    double x,y;
    cpx(double _x=0.0,double _y=0.0) {
        x=_x; y=_y;
    }
    cpx operator-(const cpx &b)const {
        return cpx(x-b.x,y-b.y);
    }
    cpx operator+(const cpx &b)const {
        return cpx(x+b.x,y+b.y);
    }
    cpx operator*(const cpx &b)const {
        return cpx(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
}x1[MAXN/2], x2[MAXN/2];

char str1[MAXN/2], str2[MAXN/2];
int sum[MAXN], l;

void change(cpx a[],int len) /// 位置互换 len必须是2的幂
{
    for(int i=1,j=len/2;i<len-1;i++) {
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=len/2;
        while(j>=k) {
            j-=k, k >>= 1;
        }
        if(j<k) j+=k;
    }
}

void fft(cpx a[],int len,int on)/// len必须是2的幂 on为1时dft -1时idft
{
    change(a,len);
    for(int i=1;i<len;i <<= 1) {
        cpx wn(cos(PI/i),on*sin(PI/i));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) {
            cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
                cpx u=a[j+k], t=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=u+t, a[j+k+i]=u-t;
            }
        }
    }
    if(on==-1) {
        for(int i=0;i<len;i++)
            a[i].x/=len;
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&l)) {
        scanf("%s%s",str1,str2);
        int len=1;
        while(len<l*2) len <<= 1; // 将长度补到2的幂
        for(int i=0;i<l;i++)
            x1[i]=cpx(str1[l-1-i]-'0',0),
            x2[i]=cpx(str2[l-1-i]-'0',0);
        for(int i=l;i<len;i++)
            x1[i]=x2[i]=cpx(0,0); // 不足补0

        fft(x1,len,1); fft(x2,len,1); /// dft转为点值表达
        for(int i=0;i<len;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 计算
        fft(x1,len,-1); /// idft转为系数表达

        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i]=(int)(x1[i].x+0.1); // 四舍五入
        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i+1]+=sum[i]/10, sum[i]%=10; // 进制
        while(sum[len]==0 && len>0) len--; // 去前导0
        for(int i=len;i>=0;i--)
            printf("%d",sum[i]); printf("
");
    }

    return 0;
}

 两种模板的细节区别在于

（2）在四舍五入时除len ，而（1）是在FFT中判断开关on再除len

#include <bits/stdc++.h>
#define PI acos(-1.0)
const int MAXN=200100;
using namespace std;

struct cpx {
    double x,y;
    cpx(double _x=0.0,double _y=0.0) {
        x=_x; y=_y;
    }
    cpx operator - (const cpx &b)const {
        return cpx(x-b.x,y-b.y);
    }
    cpx operator + (const cpx &b)const {
        return cpx(x+b.x,y+b.y);
    }
    cpx operator * (const cpx &b)const {
        return cpx(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
}x1[MAXN], x2[MAXN];

int n, m, len=1;
int l, r[MAXN], sum[MAXN];
char str1[MAXN],str2[MAXN];

void fft(cpx a[],int on)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1) {
        cpx wn(cos(PI/i),on*sin(PI/i));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) {
            cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
                cpx u=a[j+k], v=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=u+v, a[j+k+i]=u-v;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int d;
    while(~scanf("%d",&d)) {
        scanf("%s%s",str1,str2);
        while(len<d*2) len <<= 1, l++; // 将长度补到2的幂
        for(int i=0;i<d;i++)
            x1[i]=cpx(str1[d-1-i]-'0',0),
            x2[i]=cpx(str2[d-1-i]-'0',0);
        for(int i=0;i<len;i++)
            r[i]=( r[i>>1]>>1 )|( (i&1)<<(l-1) );

        fft(x1,1); fft(x2,1); /// dft转为点值表达
        for(int i=0;i<len;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 计算
        fft(x1,-1); /// idft转为系数表达

        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i]=(int)(x1[i].x/len+0.1); // 四舍五入
        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i+1]+=sum[i]/10, sum[i]%=10; // 进制
        while(sum[len]==0 && len>0) len--; // 去前导0
        for(int i=len;i>=0;i--)
            printf("%d",sum[i]); printf("
");
    }

    return 0;
}