朝阳同学的买苹果问题--贪心算法

问题定义

算法

     确定算法思想

• 将C₁,...,C_n进行排序，在C_i最小的那一天，买齐未来第i天到第i+d-1天的苹果，直到n天的苹果都采购完成。

     分析贪心选择性

      命题1，在购买苹果问题中，保质期为d天，n天价格序列为C₁,...,C_n，其中C_i = min{C₁,...,C_n}，存在某个优化解，在第i天购买了d个苹果，B_i = d。

      证明1，如果不存在某个优化解，在第i天购买了d个苹果。那么对于任意一个优化解T而言，其购买苹果的价格定义为cost(T) = Σ_{(j =1:n)} B_jC_j 。那么对于可以将第i天到i+d-1天的苹果都在第i天进行购买，形成了新的解T '。显然，T与T '仅仅在第i天到i+d-1天的苹果购买价格不同，那么cost(T) - cost(T ') = Σ_{(j =i:i+d-1)} B_jC_j - C_i*d。而C_i*i < Σ_{(j =i:i+d-1)} B_jC_j，因为Cd是购买苹果的最低价，那么，cost(T) > cost(T ')，这与T是最优解矛盾，所以假设不成立。

     分析优化子结构

      命题2，对于可以在第1~n天购买苹果，需要购买第1~n天的苹果的问题的最优解T而言，T - B_i是可以在第1~n天，不能在第i天购买苹果，以及需要购买第1~n天的水果，不需要购买第i天到第i+d-1天的苹果的问题的优化解。

      证明2：如果T - B_i不是该问题优化解，那么假设A是该问题的优化解，那么。cost(A) < cost(T - B_i)，那么，A+B_i就是可以在第1~n天购买苹果，需要购买第1~n天的苹果的问题的解，而cost(A+B_i) = cost(A) + C_iB_i ， cost(T ) = cost(T - B_i) + CB_i，cost(A+B_i) < cost(T )，那么显然这与T是原问题的优化解矛盾，假设不成立。

      算法设计

Apple-Plan(d,n,C1,C2,...,Cn)
Merge-Sort(C1,C2,...,Cn);
B1..n = 0;
A1..n = 0;
I = 1;
While(A中元素存在不等于0)
Count = 0;
For j = I to i+d-1
   If     A[j] != 1
      Then  A[i..i+d-1] = 1;
            Count++;
   B[i] =count;
Return B;

　 算法复杂度分析

        第2行的归并排序O(nlogn)；

        第6行的判断O(n),循环至多n次，第8行循环至多d次，第六行循环总时间时间复杂度为O(dn²)。

        T(n) = O(nlogn) + O(dn²)。

        时间复杂度比较大。。。。