HNOI2014 江南乐

题目

LOJ链接

思路

首先认识到：对于好几堆石子来说，它们总的SG值等于每一个石子的SG值的亦或和。

证明：

参见： 浅谈算法——博弈论（从零开始的博弈论）

对于每一个需要求SG值的(x)

首先考虑70分的暴力写法：
可以直接暴力求SG

void GetSG(int n,int f){
    for(int i=f;i<=n;i++){
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        for(int j=2;j<=i;j++){
            int t=i/j,d=i%j;
            int tmp=0;
            if(d&1)tmp^=sg[t+1];
            if((j-d)&1)tmp^=sg[t];
            mark[tmp]=1;
        }
        while(mark[sg[i]])sg[i]++;
    }
}
//code from WangZY

然后考虑优化：

考虑两个性质：

1. (lfloorfrac{n}{i} floor)的取值最多只有(2*sqrt{n})个

2. (lfloorfrac{n}{i} floor=lfloorfrac{n}{i+2} floor​)的时候，两个数的SG值一定相同。

证明：

对于1，显然成立（请读者自行证明）

对于2。

观察代码：

 if(d&1)tmp^=sg[t+1];
 if((j-d)&1)tmp^=sg[t];

它们的区别仅仅在于奇偶性，所以由于(i)与(i+2)的奇偶性相同，所以它们在这段代码中的if执行情况是一致的。

这样我们就可以确定解法，枚举(lfloorfrac{n}{i} floor)的值，然后奇偶讨论，这样的复杂度是(O(nsqrt{n}))的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
using namespace std;
int n,F;
int sg[M];
namespace P70{
	bool mark[M];
	void GetSG(int n,int f){
		for(int i=f;i<=n;i++){
			memset(mark,0,sizeof(mark));
			for(int j=2;j<=i;j++){
				int t=i/j,d=i%j;
				int tmp=0;
				if(d&1)tmp^=sg[t+1];
				if((j-d)&1)tmp^=sg[t];
				mark[tmp]=1;
			}
			while(mark[sg[i]])sg[i]++;
		}
	}
	void solve(){
		GetSG(1000,F);
		for(int i=1,m;i<=n;i++){
			scanf("%d",&m);
			int ans=0,t;
			while(m--)
				ans^=sg[(scanf("%d",&t)*t)];
			printf("%d%c",ans>0," 
"[i==n]);
		}
		
	}
}
namespace P100{
	int Getsg(int x){
		if(sg[x]!=-1)return sg[x];
		bool mark[x+1];
		memset(mark,0,sizeof(mark));
		for(int i=2;i<=x;i=x/(x/i)+1)
			for(int j=i;j<=i+1&&j<=x;j++){
				int t=x/j,d=x%j,res=0;
				if(d&1)res^=Getsg(t+1);
				if((j-d)&1)res^=Getsg(t);
				mark[res]=1;
			}
		sg[x]=0;
		while(mark[sg[x]])sg[x]++;
		return sg[x];
	}
	void solve(){
		memset(sg,-1,sizeof(sg));
		for(int i=0;i<F;i++)sg[i]=0;
		for(int i=1,m,t;i<=n;i++){
			scanf("%d",&m);
			int res=0;
			while(m--)res^=Getsg(scanf("%d",&t)*t);
			printf("%d%c",res>0," 
"[i==n]);
		}
	}
}
int main(){
	freopen("game.in","r",stdin);
	freopen("game.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&F);
	F=max(F,2);
	P100::solve();
	return 0;
}
//code from WangZY