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  • 同余

    同余类:对于a∈[0,m-1],集合{a+km}的所有数模m同余,余数都是a,该集合成为一个模m的同余类 

    完全剩余系:模m的同余类共有m个,这m个同余类构成完全剩余系

    简化剩余系:1-m中与m互质的数代表的同余类有φ(m)个,它们构成m的简化剩余系。

    简化剩余系关于乘法封闭

      证明:a,b与m互质,则a*b也不可能与m有相同的质因子,即a*b也与m互质。再由余数定义可得a*b mod m也与m互质。

    费马小定理:p是质数,则对于任意a,都有a^p = a(mod p)  ( a^(p-1)=1(mod p) )

    欧拉定理:a,n互质,则a^φ(n) = 1(mod n)  用简化同余系证明

      推论:a,n互质,则对于任意b ,有a^b = a^(b mod φ(n)) (mod n)

    由推论可以得:当要对a+b,a-b,a*b求模时,可以先对a,b求模,再计算,对表达式结果求模

           当要求a^b时,可以先把a对p求模,b对φ(p)求模,计算,再对结果求模

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