「NOIP2009」Hankson的趣味题

题目描述

(由于本题是数论题，所以我只把题目大意说一下。。。)
输入时给定(a_0,a_1,b_0,b_1)，题目要求你求出满足如下条件的(x)的个数:

[egin{cases}gcd(a_0,x)=a_1 cdotscdots 1 \ operatorname{lcm}(b_0,x)=b_1 cdotscdots2end{cases}]

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基本思路

先上一波推导:
我们很容易可以得到：

[gcd(a imes d,b imes d)=d imes gcd(a,b) ]

所以根据这个规律以及(gcd)的定义，由(1)式可知:

[gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1 cdotscdots 3 ]

根据(operatorname{lcm})的定义:

[operatorname{lcm}(a,b)=a imes b/gcd(a,b) ]

即

[gcd(a,b)=a imes b/operatorname{lcm}(a,b) ]

所以由(2)式可得:

[gcd(b_0,x)=b_0 imes x/b_1 ]

进行类似于对(1)式的变换:

[gcd(b_1/x,b_1/b_0)=1 cdotscdots4 ]

联立(3)式和(4)式:

[egin{cases}gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1\ gcd(b_1/x,b_1/b_0)=1end{cases} cdotscdots5]

还可以观察到:

[egin{cases}a_1|x\x|b_1end{cases} cdotscdots6 ]

所以我们便得到了一种方法：(O(sqrt{N}))扫一遍(b_1)的约数判断是否满足(5)式和(6)式，统计答案

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细节注意事项

在扫描(b_1)的约数时，会得到两个约数：(x)和(b_1/x)特别注意当(x=b_1/x)即(x^2=b_1)时合法的(x)只计算一次。

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参考代码

#include<cstdio>
#define rg register
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template <typename T> inline T read(){
    T s=0;bool f=false;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=(c=='-'),c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48),c=getchar();
    return (f)?(-s):(s);
}
int main(){
    int T=read<int>();
    while(T--){
        int a0=read<int>(),a1=read<int>();
        int b0=read<int>(),b1=read<int>();
        int tmp1=a0/a1,tmp2=b1/b0,ans=0;
        for(rg int x=1;x*x<=b1;x++)
            if(b1%x==0){
                int y=b1/x;
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,tmp1)==1&&gcd(tmp2,b1/x)==1) ans++;
                if(x==y) continue;
                if(y%a1==0&&gcd(y/a1,tmp1)==1&&gcd(tmp2,b1/y)==1) ans++;
            }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

完结撒花(qwq)