题目描述
(由于本题是数论题，所以我只把题目大意说一下。。。)
输入时给定(a_0,a_1,b_0,b_1)，题目要求你求出满足如下条件的(x)的个数:
[egin{cases}gcd(a_0,x)=a_1 cdotscdots 1 \
operatorname{lcm}(b_0,x)=b_1 cdotscdots2end{cases}]
基本思路
先上一波推导:
我们很容易可以得到：
[gcd(a imes d,b imes d)=d imes gcd(a,b)
]
所以根据这个规律以及(gcd)的定义，由(1)式可知:
[gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1 cdotscdots 3
]
根据(operatorname{lcm})的定义:
[operatorname{lcm}(a,b)=a imes b/gcd(a,b)
]
即
[gcd(a,b)=a imes b/operatorname{lcm}(a,b)
]
所以由(2)式可得:
[gcd(b_0,x)=b_0 imes x/b_1
]
进行类似于对(1)式的变换:
[gcd(b_1/x,b_1/b_0)=1 cdotscdots4
]
联立(3)式和(4)式:
[egin{cases}gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1\
gcd(b_1/x,b_1/b_0)=1end{cases} cdotscdots5]
还可以观察到:
[egin{cases}a_1|x\x|b_1end{cases} cdotscdots6
]
所以我们便得到了一种方法：(O(sqrt{N}))扫一遍(b_1)的约数判断是否满足(5)式和(6)式，统计答案
细节注意事项
在扫描(b_1)的约数时，会得到两个约数：(x)和(b_1/x)特别注意当(x=b_1/x)即(x^2=b_1)时合法的(x)只计算一次。
参考代码
#include<cstdio>
#define rg register
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template <typename T> inline T read(){
T s=0;bool f=false;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=(c=='-'),c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48),c=getchar();
return (f)?(-s):(s);
}
int main(){
int T=read<int>();
while(T--){
int a0=read<int>(),a1=read<int>();
int b0=read<int>(),b1=read<int>();
int tmp1=a0/a1,tmp2=b1/b0,ans=0;
for(rg int x=1;x*x<=b1;x++)
if(b1%x==0){
int y=b1/x;
if(x%a1==0&&gcd(x/a1,tmp1)==1&&gcd(tmp2,b1/x)==1) ans++;
if(x==y) continue;
if(y%a1==0&&gcd(y/a1,tmp1)==1&&gcd(tmp2,b1/y)==1) ans++;
}
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}
完结撒花(qwq)