2021秋 数分B1笔记

实数

〇、杂项

最小数原理：集合 (mathbb{T} sub mathbb{N},mathbb{T} eq varnothing) ，那么 (mathbb{T}) 中有最小数。

证明：

构造集合 (mathbb{S} = {smidforall t in mathbb{T}, s leq t})

显然 $ 1 in mathbb{S} Rightarrow mathbb{S} eq varnothing$

又有 (forall t in mathbb{T}, t + 1 otin mathbb{S} Rightarrow mathbb{S} eq mathbb{N})

所以一定 (exist s_0 in mathbb{S}， s_0 + 1 otin mathbb{S}) （反证法，根据归纳公理显然）

下证 (s_0 in mathbb{T}) ，考虑反证

若 (s_0 otin mathbb{T})，又 (s_0 in mathbb{S})，所以有 (forall t in mathbb{T}, s_0 < t)，则有 (forall t in mathbb{T}，s_0 + 1 leq t Rightarrow s_0 + 1 in mathbb{S}) ，矛盾

故 (s_0 in mathbb{T}) 且 (forall t in mathbb{T}, s_0 leq t)，(s_0) 则为 (mathbb{T}) 中的最小数，最小数原理得证

一、域的定义

设 (mathbb{F}) 是集合，具有

• 加法 (forall x, y in mathbb{F}, x + y in mathbb{F})
• 乘法 (forall x, y in mathbb{F}, x cdot y in mathbb{F})
• (0) 元 (forall x in mathbb{F},exist 0 in mathbb{F}, 0 + x in x)
• 单位元 (exists 1 in mathbb{F}, 1 cdot x = x cdot 1 = x)
• 负元 (forall x in mathbb{F}, exist -x in mathbb{F}, x + (-x) = 0)
• 满足交换律，结合律，交换律

则称 (mathbb{F}) 为一个域

二、有序域

设 (mathbb{F}) 是一个域，若满足 (forall x, y in mathbb{F}, x < y, x > y, x = y) 有且仅有一种成立，则 (mathbb{F}) 有序，称为有序域

复数域 (mathbb{C}) 不是有序域，复数的乘法运算与有序的定义不兼容

三、有界的定义

设 (mathbb{E} sub mathbb{F}) ，若 (exists eta in mathbb{F},forall alpha in mathbb{E}) ，有 (alpha leqslant(geqslant) eta)，则称 (eta) 是 (mathbb{E}) 的上（下）界

四、确界的定义

若 (mathbb{E} sub mathbb{F}) 有上界，若在 (mathbb{F}) 中 (mathbb{E}) 有最小（大）的上（下）界，则称为上（下）确界，记为 (sup mathbb{E} in mathbb{F}) 或者 (inf mathbb{E} in mathbb{F})

五、确界原理

若 (mathbb{F}) 中任意有上（下）界子集 (mathbb{E}) 在 (mathbb{F}) 中一定有上（下）确界，则称 (mathbb{F}) 满足上（下）确界原理

定理：若 (mathbb{F}) 满足上确界原理，则 (mathbb{F}) 满足下确界原理

证明：

设 (mathbb{F}) 满足上确界原理，要证 (forall mathbb{E} sub mathbb{F})，(mathbb{E}) 有下界则一定有下确界

构造 (mathbb{E}^prime = {etamideta)是 (mathbb{E}) 的下界(} sub mathbb{F})

定理：存在满足确界原理的有序域

且以 (mathbb{Q}) 为其子集的有序域记为 (mathbb{R}) ，称为实数域

构造性证明 ( ext{Dedekind}) 分割（摘自知乎，侵删）：

假设我们只知道有理数。我们把所有有理数按如下要求装入集合 (A) 和 (A')：

• 任一有理数必属于 (A, A') 之一；
• (A') 中的每一个有理数都大于 (A) 中的有理数。

这样操作的对有理数全集的分划 (A|A') 就称为 ( ext{Detekind}) 分割。

显然在此划分下就会出现三种情况：

• (A) 中有最大数，(A') 中无最小数；
• (A) 中无最大数，(A') 中有最小数；
• (A) 中无最大数，(A') 中也无最小数。

前两种情况属于存在“界数”的情况，为了明确起见，我们约定，若某个分割存在“界数”，就总把这个“界数”放在 (A') 中，于是可以将这两种情况归并为一种；至于第三种情况，则属于不存在“界数”的情况。

如此，每一个 ( ext{Detekind}) 分割都唯一地定义了一个实数：有界数的，就是定义了这个作为界数的有理数；无界数的，则定义了某个不属于有理数的新数，我们称之为无理数。

容易推知，实数就和 ( ext{Detekind}) 分割形成双射关系，每一个实数对应一个分划，不同的实数对应不同的分划。

六、实数的特点 (egin{cases}①与数轴上的点一一对应\②不可数end{cases})

① ( ext{Archimedes}) 原理：

​ (forall x, y in mathbb{R})，若(x > 0,y > 0)，则 (exist n in mathbb{N})，使得 (nx > y geqslant (n - 1)x)

② (mathbb{Q}) 在 (mathbb{R}) 中稠密：

​ (forall x, y in mathbb{R}, x < y)，一定 (exists z in mathbb{Q},) 使得 (x < z< y)

( ext{Archimedes}) 原理证明：

设 (mathbb{E} = {nxmid n in mathbb{N}} sub mathbb{R})

（反证）假如对 $forall n,nx leqslant y Rightarrow y $ 是 (mathbb{E}) 上界 (Rightarrow mathbb{E}) 有上确界

记 (alpha = sup mathbb{E} in mathbb{R} Rightarrow alpha - x < alpha Rightarrow alpha - x) 不是 (mathbb{E}) 的上界

(exists mx in mathbb{E})，使得 (alpha - x < mx Rightarrow alpha < (m + 1)x in mathbb{E}) 矛盾

所以 (exists n_0) 使得 (n_0x > y)

(mathbb{S} = {n mid nx > y} eq varnothing)

(exists) 最小的 (n)，(nx > y geqslant (n - 1)x)

通过 ( ext{Archimedes}) 原理证明两实数间存在另一有理数：

(forall x, y in mathbb{R}, x < y Rightarrow y - x > 0)

根据 ( ext{Archimedes}) 原理，(exists n)，使得 (n(y - x) > 1 Rightarrow ny > 1 + nx)

再对 (1) 和 (nx) 应用 ( ext{Archimedes}) 原理

(exists m) 使得 (m cdot 1 > nx geqslant (m - 1) cdot 1 Rightarrow mx < m leqslant nx + 1 < ny)

(Rightarrow x < frac{m}{n} < y)，(frac{m}{n} in mathbb{Q})

七、无限小数

(forall x > 1, x in mathbb{R})

根据 ( ext{Archimedes}) 原理，(exists a_0 in mathbb{N},a_0 leqslant x < a_0 + 1)

同上，(exists a_1 in mathbb{N}, a_1 leqslant 10(x - a_0) < a_1 + 1(0 leqslant a_1 leqslant 9))

(Rightarrow a_0 + frac{a_1}{10} leqslant x < a_0 + frac{a_1}{10} + 1)

以此类推：(a_0 + frac{a_1}{10} + cdots + frac{a_n}{10^n} leqslant x < a_0 + frac{a_1}{10} + cdots + frac{a_n}{10^n} + 1)

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数列

一、数列极限

数列 (a_1, a_2, a_3, cdots) 可看成 (mathbb{N} o mathbb{R}) 的一个映射。

二、数列极限的定义

设 ({ a_n }) 是实数数列，(a in mathbb{R})

对于 (forall varepsilon > 0)，若 (exists N)，使得 (forall n > N)，(|a_n - a| < varepsilon)，则称 (a) 是 ({a_n}) 的极限，记作 (limlimits_{n o infty} a_n = a) 或 (a_n o a(n o infty))

若 (exists varepsilon_0 > 0)，对 (forall N)，(exists n > N)，但是 (|a_n - a| geqslant varepsilon_0)，那 (a) 就不是 ({a_n}) 的极限

三、性质 (egin{cases}① 唯一性，改变有限项不影响敛散性 \②收敛必有界 保序性\③四则运算（下文略）\④夹逼定理（下文略）end{cases})

1. 设 ({a_n}) 收敛，则 (limlimits_{n o infty} a_n) 唯一。

   证明：

   考虑反证，若有两个极限，分别记为 (a, b(a < b))，取 (varepsilon_0 = frac{|a - b|}{2})

   根据极限的定义，(exists N_1,n > N_1) 时有 (|a_n - a| < varepsilon_0)，(exists N_2,n > N_2) 时有 (|a_n - b| < varepsilon_0)

   取 (N = max{N_1, N_2})，当 (n > N) 时

   (egin{aligned}|a - b| & = |a - a_n + a_n - b| \ & leqslant |a - a_n| + |a_n - b| \& < 2varepsilonend{aligned})

   矛盾

2. 改变 ({a_n}) 的有限项，不改变 ({a_n}) 的敛散性

   不妨设 (a_n o a (n o infty)) ，改变有限项的值后，依然 (exists n_r)，使得 (a_n(n geqslant n_r)) 不变。

   (forall varepsilon > 0，exists N > n_r, forall n > N,|a_n - a| < varepsilon Rightarrow limlimits_{n o infty} a_n = a)，敛散性不变。发散数列同理。

3. ({a_n}) 有界，(exists M)，使得 (|a_n| leqslant M) 对 (forall n) 成立

4. 若 (a > l)，则对充分大 (n) 有 (a_n > l)

   取 (varepsilon = a - l > 0)

   则 (exists N,forall n > N,|a_n - a| < varepsilon)

   (a + varepsilon > a_n > a - varepsilon = a - (a - l) = l)

   得到 (a_n > l)

5. 若对充分大 (n) 有 (a_n geqslant l)，则 (a geqslant l)

四、子列

定理：({a_n}) 收敛 (Rightarrow {a_n}) 的任一子列收敛于同一值（证明略）

推论：若 ({a_n}) 的某一个子列发散，则 ({a_n}) 也发散；若存在两个子列收敛于不同值，则 ({a_n}) 发散

五、实数完备性的若干等价命题

1. 确界原理：(mathbb{R}) 中任何有上（下）界的子集 (mathbb E) 必有上（下）确界

   定义：若 ({a_n}) 满足 (forall n,a_n leqslant(geqslant) a_{n + 1})，则称 ({a_n}) 单调递增（减）。不取等的情况称为严格单调递增（减）

   定理：单调递增（减）有上（下）界的数列必收敛

   设 ({a_n} uparrow) 有上界，根据确界原理，({a_n} sub mathbb R) 必有上确界 (a = sup{a_n})

   (Rightarrow forall varepsilon > 0,a - varepsilon) 不再是上界 (Rightarrow exists a_{n_0} in {a_n}) 使得 (a - varepsilon < a_{n_0})

   所以 (forall n > n_0,a - varepsilon < a_{n_0} leqslant a_n < a < a + varepsilon)，根据数列极限定义，({a_n}) 收敛

   定理：设 (e_n = left(1 + frac{1}{n} ight)^n)，则 ({e_n}) 收敛

   先证 ({e_n}) 单调递增：

   (egin{aligned}e_{n} &= left(1 + frac 1 n ight)^n \&= 1 + frac n {1!} cdot frac 1 n + frac {n(n - 1)} {2!} cdot frac 1 {n^2} + frac {n(n - 1)(n - 2)} {3!} cdot frac 1 {n^3} + cdots + frac {n(n - 1) cdots 2 cdot 1} {n!} cdot frac 1 {n^n} \&= 1 + 1 + {1 over 2!}left(1 - frac 1 n ight)+{1 over 3!}left(1 - frac 1 n ight)left(1 - frac 2 n ight) + cdots + {1 over n!}left(1 - frac 1 n ight)left(1 - frac 2 n ight) cdots left(1 - frac {n - 1} n ight)end{aligned})

   类似地：

   (e_{n + 1} = 1 + 1 + {1 over 2!}left(1 - frac 1 {n + 1} ight)+{1 over 3!}left(1 - frac 1 {n + 1} ight)left(1 - frac 2 {n + 1} ight) + cdots + {1 over (n + 1)!}left(1 - frac 1 {n + 1} ight)left(1 - frac 2 {n + 1} ight) cdots left(1 - frac n {n + 1} ight))

   作差不难发现 (e_{n + 1} > e_n)

   又根据

   (egin{aligned}e_n & < 1 + 1 + {1 over 2!} + {1 over 3!} + cdots + {1 over n!} \&< 1 + 1 + {1 over 2} + {1 over 2^2} + cdots + {1 over 2^{n-1}} \&= 1 + {1 - {1 over 2^n} over 1 - {1 over 2}} = 3 - {1 over 2^{n - 1}} <3end{aligned})

   所以 (e_n) 有上界，单调递增有上界必收敛，记为 (limlimits_{n o infty}e_n = e)

2. 列紧性

   区间套定理：设有一列区间 ([a_n, b_n], n = 1, 2, cdots) 满足

   • ([a_{n+1}, b_{n + 1}] sub [a_n, b_n],n = 1, 2, cdots)
   • (limlimits_{n o infty}(b_n - a_n) = 0)

   则有且仅有一点 (xi in [a_n, b_n],n = 1, 2, cdots)

   证明：

   ({a_n}) 递增有上界 (b_1)，({b_n}) 递减有下界 (a_1) (Rightarrow) ({a_n},{b_n}) 均收敛

   记 (limlimits_{n o infty} a_n = a,limlimits_{n o infty} b_n = b)

   根据数列极限的保序性：(a_n < b_n Rightarrow a leqslant b)

   又 (0 leqslant b - a leqslant limlimits_{n o infty}(b_n - a_n) = 0 Rightarrow b = a = xi)

   容易验证 (xi in [a_n, b_n], forall n in N)

   推广可得 (igcaplimits_{n = 1}^infty[a_n, b_n] eq varnothing)，特别地若 (limlimits_{n o infty}(b_n - a_n) = 0)，(igcaplimits_{n = 1}^infty[a_n, b_n] = {xi})

   ( ext{Bolzano-Weierstrass}) 定理：任何有界数列必有收敛子列

   设 ({x_n}) 是有界数列， 设 ({x_n} sub [a, b])，则区间 ([a, frac{a + b}{2}],[frac{a + b}{2}, b]) 中至少有一个包含 ({a_n}) 中的无限项

   记为 ([a_1, b_1])，对 ([a_1, b_1]) 重复上述过程得到 ([a_2, b_2])，以此类推将得到 (k) 个区间，满足

   ([a_1, b_1] supset [a_2, b_2] supset cdots supset [a_k, b_k])

   且 (b_k - a_k = {1 over 2^k}(b - a) o 0,k o infty)

   根据区间套定理 (limlimits_{k o infty} a_k = limlimits_{k o infty} b_k = x)

   再根据夹逼定理，([a_k, b_k]) 内所有 (x_i) 组成的子列收敛于 (x)

3. ( ext{Cauchy}) 收敛准则

   定义：({a_n}) 满足 (forall varepsilon > 0,exists N)，当 (n, m > N) 时有 (|a_n-a_m | < varepsilon) ，或者写成 (| a_{n+p} - a_n | < varepsilon) 对 (forall p) 成立

   ​ 则称 ({a_n}) 为基本列

   定理：({a_n}) 收敛 (iff) ({a_n}) 是基本列

六、发散到无穷大

定义：

记 (limlimits_{n o infty} a_n = +infty,forall M > 0,exists N)，当 (n > N) 时

• 有 (a_n > M)，则称 (a_n) 发散到 (+infty)
• 有 (a_n < -M)，则称 (a_n) 发散到 (-infty)
• 有 (|a_n| > M)，则称 (a_n) 发散到 (infty)

定理：单调递增数列发散到 (+infty iff) 数列无界 (forall M > 0,exists a_N)，使得 (a_N > M)

七、( ext{Stolz}) 定理

定理（“(frac infty infty)”型或“(frac x infty)” 型）：设 ({a_n},{b_n}) 满足

1. (b_n) 严格 (uparrow) 且 (limlimits_{n o infty}b_n = +infty) （不要求 (a_n o +infty)）
2. (limlimits_{n o infty} {a_{n + 1} - a_n over b_{n + 1} - b_n} = A) （可以是无穷）

则有 (limlimits_{n o infty}{a_n over b_n} = A)

定理（“(frac 0 0)” 型）

1. (a_n o 0, b_n o 0)，且 ({b_n}) 严格 (downarrow)
2. (limlimits_{n o infty} {a_{n + 1} - a_n over b_{n + 1} - b_n} = A)

则有 (limlimits_{n o infty}{a_n over b_n} = A)

函数极限

一、函数

映射：(f:X o Y) 单射

函数：(f:I(subset R) o J(subset R))

1. 三种情况：

   1. 有界：(forall x in I,|f(x)| leqslant M) 或者 (m leqslant f(x) leqslant M)
   2. 单调：(forall x_1, x_2 in I(x_1 < x_2) Rightarrow f(x_1) leqslant f(x_2)) 则单调递增，不取等则严格；递减同理
   3. 一一对应：(forall x_1 eq x_2 Rightarrow f(x_1) eq f(x_2))
   4. 反函数：(forall y in J,exists) 唯一 (x in I)，使得 (y = f(x))，则 (x = f^{-1}(y))

2. 函数的复合：(y = g(f(x)))

3. 初等函数

   1. 幂函数：(f(x) = x^alpha(x > 0,alpha in R))

   2. 指数函数：(f(x) = a^x(a > 0,a eq 1))

   3. 对数函数：(f(x) = log_ax(x > 0, a > 0, a eq 1), f(x) = ln x)

   4. （反）三角函数

   5. 双曲函数

      (sinh x = {e^x - e^{-x} over 2},cosh x = {e^x + e^{-x} over 2},cosh^2x - sinh^2x = 1,cos x = {e^{ix} + e^{-ix} over 2}, sin x = {e^{ix} + e^{-ix} over 2i})

   初等函数通过有限次四则运算和复合运算，仍然为复合函数

4. 函数的其他表达方式

   1. 分段函数
   2. 隐函数
   3. 参数方程

二、在无穷处的极限

(forall varepsilon > 0,exists X > 0)，当 (|x| > X) 时，有 (|f(x) - a| < varepsilon)，则称 (a) 是 (f(x)) 在无穷处的极限，记为 (limlimits_{x o infty}f(x) = a)

单侧极限 (egin{cases}limlimits_{x o +infty}f(x) = a \ limlimits_{x o -infty}f(x) = aend{cases}) . 结论：(limlimits_{x o infty}f(x) = a iff egin{cases}limlimits_{x o +infty}f(x) 存在 \ limlimits_{x o -infty}f(x) 存在end{cases} 且相等)

三、在有限点的极限

(limlimits_{x o x_0}f(x) = a iff forall varepsilon > 0, exists delta > 0)，当 (0 < |x - x_0| < delta(x in mathring{U}(x_0, delta))) 时，有 (|f(x) - a| <varepsilon)

结论：(f(x)) 在 (x_0) 处有极限 (iff) (f(x)) 在 (x_0) 处的左右极限存在且相等

四、性质与判别法

一、极限若存在则唯一

二、局部有界

1. (f(x)) 在 (x_0) 附近有界（(exists delta > 0, x in mathring{U}(x_0, delta))

2. 若 (alpha < a < eta)，则在 (x_0) 附近有 (alpha leqslant f(x) leqslant eta)

   对 (varepsilon = min{eta - a, a - alpha} > 0, exists delta > 0) 当 (x in mathring{U}(x_0, delta)) 时，(alpha leqslant a - varepsilon < f(x) < a + varepsilon leqslant eta)

三、四则运算

设 (f(x) o a, g(x) o b(x o x_0))，则

1. (limlimits_{x o x_0}(alpha f(x) + eta g(x)) = alpha a + eta b)
2. (limlimits_{x o x_0}f(x)g(x) = ab)
3. (limlimits_{x o x_0}{f(x) over g(x)} = frac a b(b eq 0))

四、保序性

在 (x_0) 附近有 (f(x) leqslant g(x) Rightarrow limlimits_{x o x_0} f(x) leqslant limlimits_{x o x_0}g(x))

五、复合函数

设 (f(x)) 在 (x_0) 附近，(g(t)) 在 (t_0) 附近均有定义，当 (t eq t_0,g(t) eq x_0) 时

​ 若 (limlimits_{x o x_0}f(x) = l, limlimits_{t o t_0} g(t) = x_0)，则 (limlimits_{t o t_0}f(g(t)) = l)

证明：

(forall varepsilon > 0, exists au > 0)，当 (0 < |x - x_0| < au) 时，有 (|f(x) - l| < varepsilon)

对 ( au > 0,exists delta > 0)，当 (0 < |t - t_0| < delta) 时，有 (0 < |g(t) - x_0| < au Rightarrow |f(g(t)) - l| < varepsilon Rightarrow limlimits_{t o t_0}f(g(t)) = l)

证毕

六、函数与数列复合

(limlimits_{x o x_0}f(x) = a iff) 对任意收敛于 (x_0) 的数列 ({a_n}(a_n eq x_0))，有 (limlimits_{n o infty}f(a_n) = a)

证明：

((Rightarrow))

对于 (forall {a_n}, a_n o x_0(x o infty)) ，要证 ({f(a_n)}) 收敛于 (a)，

即证 (forall varepsilon > 0,exists delta > 0) 使得 (0 < |x - x_0| < delta) 时，有 (|f(x) - a| < varepsilon)

对 (delta > 0,exists N)，当 (n > N) 时有 (0 < |a_n - x_0| < delta Rightarrow) 当 (n > N) 时，(|f(a_n) - a| < varepsilon)

((Leftarrow))

假如当 (x o x_0) 时 (f(x)) 不以 (a) 为极限

(Rightarrow exists varepsilon_0 > 0)，使得对 (forall delta > 0)，即使 (0 < |x - x_0| < delta)，但是 (|f(x) - a| geqslant varepsilon_0)

取 (delta = frac 1 n)，取 (a_n = x_0 + frac 1 {2n} o x_0)

当 (0 < |a_n - x_0| < frac 1 n = delta) 时，但是 (|f(a_n) - a| geqslant varepsilon_0)，矛盾

七、夹逼定理

在 (x_0) 附近有 (g(x) leqslant f(x) leqslant h(x))，且 (limlimits_{x o x_0}g(x) = limlimits_{x o x_0}h(x) = a Rightarrow limlimits_{x o x_0}f(x) = a)

八、单调性与极限存在的关系

若 (f(x)) 在 ((a, b)) 上单调，则对 (forall x_0 in (a, b), limlimits_{x o x_0^{pm}}f(x)) 存在

证明：

设 (f(x) uparrow)，(mathbb E = {f(x) mid x < x_0}) 有上界

(exists) 上确界 (l)，(forall varepsilon > 0 Rightarrow l - varepsilon) 不是 (mathbb E) 的上界

(exists overline x < x_0)，但是 (f(overline x) > l - varepsilon)

取 (0 < delta < x_0 - overline x)，当 (0 < x_0 - overline x < delta) 时，有 (l - varepsilon < f(overline x) leqslant l)

(Rightarrow limlimits_{x o x_0^-}f(x)) 存在，另一种情况同理，证毕

九、( ext{Cauchy}) 收敛准则

设 (f(x)) 在 (x_0) 附近有定义

则 (f(x)) 在 (x_0) 处有极限 (iff) (forall varepsilon > 0, exists delta > 0)，当 (0 < |x^prime - x_0| < delta, 0 < |x^{primeprime} - x_0| < delta) 时，有 (|f(x^prime) - f(x^{primeprime})| < varepsilon)

证明：

((Rightarrow))

设极限为 (a)，(forall varepsilon > 0, exists delta > 0)，当 (0 < |x - x_0| < delta) 时，有 (|f(x) - a| < frac varepsilon 2)

对 (0 < |x^prime - x_0| < delta, 0 < |x^{primeprime} - x_0| < delta)

有 (|f(x^prime) - a| < frac varepsilon 2, |f(x^{primeprime}) - a| < frac varepsilon 2 Rightarrow |f(x^prime) - x^{primeprime}| < varepsilon)

((Leftarrow))

因为对 (forall varepsilon > 0, exists delta > 0)，当 (0 < |x^prime - x_0| < delta, 0 < |x^{primeprime} - x_0| < delta) 时，有 (|f(x^prime) - x^{primeprime}| < varepsilon)

任取 (a_n o x_0(a_n eq x_0) Rightarrow exists N)，当 (n, m > N) 时， (0 < |a_n - x_0| < delta, 0 < |a_m - x_0| < delta)

(Rightarrow |f(a_n) - f(a_m)| < varepsilon Rightarrow {f(a_n)}) 满足 ( ext{Cauchy}) 收敛准则，设 (f(a_n) o l)

根据函数与数列复合的极限， (limlimits_{x o x_0}f(x) = l)，极限存在，证毕

五、两个重要极限

[limlimits_{x o 0}{sin x over x} = 1 ]

证明：
待填坑

[limlimits_{x o infty}left(1 + frac 1 x ight)^x = e ]

证明：

已知 (limlimits_{n o infty}left(1 + frac 1 n ight)^n = e)，考虑将自然数的情况推广到正实数：

由 ( ext{Archimedes}) 原理，(exists n in N,n leqslant x < n + 1)

则有 (left(1 + {1 over n + 1} ight)^n < left(1 + {1 over x} ight)^x < left(1 + {1 over n} ight)^{n + 1})，之后根据夹逼不难证明 (limlimits_{x o +infty}left(1 + {1 over x} ight)^x = e)

负数的情况类似

六、无穷大与无穷小量

(limlimits_{x o x_0}f(x) = infty iff forall M > 0, exists delta > 0, forall x in mathring{U}(x_0, delta), |f(x)| > M)

(limlimits_{x o x_0}f(x) = 0 iff forall varepsilon > 0, exists delta > 0, forall x in mathring{U}(x_0, delta), |f(x)| < varepsilon)

若 (f(x) o infty, g(x) o infty (x o x_0))，则 (limlimits_{x o x_0}{f(x) over g(x)} = egin{cases} 0 & f = o(g) \ C eq 0 & f sim g \ infty & g = o(f)end{cases})

函数的连续性

一、连续

1. 在一点连续

   设 (f(x)) 在 (x_0) 的邻域内有定义且在 (x_0) 处有极限，若 (limlimits_{x o x_0}f(x) = f(x_0))，则称 (f(x)) 在 (x_0) 连续

2. 单侧连续

   若 (limlimits_{x o x_0^pm}f(x) = f(x_0pm0) = f(x_0))，则称单侧连续

3. 在区间上连续

   (forall x_0 in I)，(f(x)) 在 (x_0) 处连续

二、间断

第一类间断点 (egin{cases}f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) eq f(x_0) & 可去间断点\f(x_0+0) eq f(x_0 - 0) & 跳跃间断点end{cases})

第二类间断点 (f(x_0pm0)) 至少有一个不存在

三、性质

1. 局部有界

   (f(x)) 在 (x_0) 连续，则存在 (x_0) 的一个邻域，使得 (f(x)) 在邻域内有界

2. 四则运算（文略）

3. 若 (f(x)) 在 (x_0) 连续，(g(t)) 在 (t_0) 连续且 (g(t_0) = x_0) 则 (f(g(t))) 在 (t_0) 处连续

   [limlimits_{t o t_0}f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(limlimits_{t o t_0}g(t)) ]

4. (f(x)) 在 ([a, b]) 上连续，则（缓证）

   1. (f(x)) 在 ([a, b]) 上有反函数 (iff) (f) 在 ([a, b]) 上严格单调
   2. (f(x)) 的反函数 (f^{-1}(x)) 在 ([a, b]) 上也一定连续

四、初等函数连续性

结论：初等函数在其定义域内一定连续

五、闭区间上连续函数的性质

设 (f(x)mid_{[a, b]}) 连续

介值性

定理（零点定理）

对 ([a, b]) 上的连续函数 (f(x))，若 (f(a) cdot f(b) < 0)，则一定存在 (xi in (a, b), f(xi) = 0)

证明：

不妨设 (f(a) < 0, f(b) > 0)

1. ([a_m, b_m] sub [a_{m - 1}, b_{m - 1}] sub cdots sub [a, b])
2. (b_n - a_n = frac 1 2(b - a) o 0, a_n o xi, b_n o xi)

(Rightarrow exists xi in [a, b])，使得 (a_n leqslant xi leqslant b_n)

(f(a_n) < 0 Rightarrow f(xi) leqslant 0,f(b_n) > 0 Rightarrow f(xi) geqslant 0)

(Rightarrow f(xi) = 0),证毕

定理（介值定理）

设 ({f(x)} sub [a, b], f(a) eq f(b))，则对 (forall) 介于 (f(a), f(b)) 之间的 (r)，一定存在 (f(xi) = r)

不动点

若 (f([a, b]) = {f(x) mid x in [a, b]} sub [a, b])，则一定 (exists x_0 in [a, b], f(x_0) = x_0)

有界性

定理：闭区间上连续函数一定有界

证明：

假设存在闭区间 ([a, b]) 上的某个连续函数无界

则 (forall N, exists x_n in [a, b])，使得 (|f(x_n)| geqslant N) (Rightarrow exists) 子列 (x_{n_k} o x_0 Rightarrow x_0 in [a, b])（保序性）

又根据 (f(x)) 的连续性， (N_k leqslant |f(x_{n_k})| o |f(x_0)|)，有界，矛盾

定理：闭区间上连续函数必取到最大（小）值

证明：

原命题即 (exists x^*, x_* in [a, b])，使得 (f(x^*) geqslant f(x) geqslant f(x_*)) 对 (forall x in [a, b]) 成立

(f(x)|_{[a, b]}) 有界因此有上确界，记 (M = sup f(x), forall n in N, M - frac 1 n) 不是上界

即 (exists x_n in [a, b]) 使得 (M geqslant f(x_n) geqslant M - frac 1 n)

(Rightarrow exists x_{n_k} o x^* in [a, b]) 再令 (n o infty) 根据夹逼 (f(x^*) = M Rightarrow f(x^*)) 是 (f(x)) 在 ([a, b]) 的最大值

最小值同理

定理：闭区间上的连续函数的值域也是闭区间 显然

定理： 闭区间上 (f(x)) 连续，$f(x) $有反函数 (iff) (f(x)) 和 (f^{-1}(x)) 连续且严格单调

证明：

((Leftarrow)) 显然

((Rightarrow)) 考虑反证

(exists x_1 < x_2 < x_3)，使得 (f(x_2)) 不在 (f(x_1)) 和 (f(x_3)) 之间

不妨设 (f(x_2) < f(x_1) < f(x_3) Rightarrow exists xi in (x_2, x_3), f(xi) = f(x_1))，矛盾

已知反函数严格单调，下证连续，即证 (forall varepsilon > 0 exists, delta > 0)，当 (|y - y_0| < delta) 时，(|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < varepsilon)

令 (x_0 = f^{-1}(y_0),y_1 = f(x_0 - varepsilon), y_2 = f(x_0 + varepsilon) Rightarrow y_1 < y_0 < y_2)

令 (delta = min{y_0 - y_1, y_2 - y_0})，当 (|y - y_0| < delta) 时

(y_1 < y < y_0 + delta leqslant y_2 Rightarrow f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y) < f^{-1}(y_2) Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < varepsilon)

六、一致连续性

定义：设 (f(x)) 在 (I) 上有定义，(forall varepsilon > 0)，如果 (exists delta > 0)，使得对 (forall x_0 in I)，

​ 当 (|x - x_0| < delta) 时，有 (|f(x) - f(x_0)| < varepsilon) 成立，则称 (f(x)) 在 (I) 上一致连续

等价定义：(forall varepsilon > 0, exists delta > 0)，只要 (|x' - x''| < delta)，就有 (|f(x') - f(x'')| < varepsilon)

定理：闭区间上连续的函数一定一致连续

证明（反证）：

(exists varepsilon_0 > 0)，对 (forall n, delta_n = frac 1 n)，当 (|x_n - y_n| < delta_n) 时，有 (|f(x_n) - f(y_n)| geqslant varepsilon_0)

根据子列的收敛性可以证明 (limlimits_{k o infty}|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0)，矛盾

微分

一、导数

定义：设 (f(x)) 在 (I) 上有定义，(x_0 in I)，若 (limlimits_{x o x_0}{f(x) - f(x_0) over x - x_0}) 存在且有限，则称 (f(x)) 在 (x_0) 处可导，记为

[f'(x_0) = limlimits_{x o x_0}{f(x) - f(x_0) over x - x_0} ]

单侧导数

[limlimits_{Delta x o 0^pm}{f(x_0 + Delta x) - f(x) over Delta x} = f'_pm(x_0) ]

结论：左右导数存在且相等 (iff) 导数存在

二、性质

1. 可导一定连续（连续不一定可导）

2. 四则运算

   1. ((f(x) pm g(x))' = f'(x) pm g'(x))
   2. ((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x))
   3. (left({f(x) over g(x)} ight)' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) over (g(x))^2}(g(x) eq0))

3. 复合函数求导

   (y = f(x), x = g(t)) 都可导，则 (y = f(g(t))) 也可导（链式法则证明）

三、高阶导数

(f|_I) 可导， (f'|_I) 函数若仍然可导，则 (f''(x)|_I, cdots) 称为 (f(x)) 的高阶导数，记为 (f^{(n)}(x) = (f^{n - 1}(x))')，或记为

[{ ext d^n y over ext d x^n} = { ext d over ext d x}left({ ext d^{n - 1} y over ext d x^{n - 1}} ight) ]

( ext{Leibnis}) 定理：

[(f cdot g)^{(n)} = sumlimits_{k = 0}^n{n choose k}f^{(n - k)} cdot g^{(k)} ]

若 (exists x_0 in I, f(x_0) = f'(x_0) = cdots = f^{(r)}(x_0) = 0)，则称 (x_0) 是 (f(x)) 的 (r) 重零点

常用导数

1. ((sin x)^{(n)} = sin(x + {npi over2}))

2. 考虑 (y = arctan x) 的在 (x = 0) 处的高阶导数

   一次求导：(y'(1 + x ^ 2) = 1)

   对该恒等式求 (n - 1) 阶导，根据 ( ext{Leibnis}) 公式：

   [(1 + x ^ 2)y^{(n)} + 2(n - 1)xy^{(n - 1)} + (n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)} = 0 ]

   将 (x = 0) 代入得到：

   [y^{(n)}(0) = -(n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)}(0) ]

   又有 (y(0) = 0, y'(0) = 1)，分奇偶分析可得：

   [y^{(2k + 1)}(0) = (-1)^k(2k)!, y^{(2k)}(0) = 0, k = 1, 2, cdots. ]

四、参数表示的导数

对于参数方程

[egin{cases} x = x(t) \ y = y(t)end{cases}, t in [alpha, eta] ]

表示的函数可导，如果 (x'(t) eq 0)， 且 (x = x(t)) 存在可导的反函数 (t = t(x))，则有

[{ ext dy over ext dx} = { ext dy over ext dt}{ ext dt over ext dx} = {y'(t) over x'(t)} ]

类似的可以求得

[{ ext d^2y over ext dx^2} = {y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) over (x'(t))^3} ]

五、微分

定义：对于 (y = f(x))，若存在一条直线使得 (f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) +o(Delta x))，则称 (f(x)) 可微

结论：可微

[Rightarrow limlimits_{Delta x o 0}{f(x_0 + Delta x) - f(x_0) over Delta x} = A ]

(Rightarrow) 可导且 (f'(x_0) = A)

六、微分中值定理

一、极值

定义：设 (f(x)) 在 (I) 上有定义，若 (x_0 in I) 满足 (exists delta > 0, |x - x_0| < delta) 时

​ (f(x) leqslant f(x_0)) 则称 (f(x_0)) 是极大值；(f(x) geqslant f(x_0)) 则称 (f(x_0)) 是极小值

二、( ext{Fermat}) 定理

若 (f(x)) 在 (I) 内部一点 (x_0) 取极值，且 (f(x)|_I) 可导，则 (f'(x_0) = 0)（根据导数的定义不难证明）

三、( ext{Rolle}) 定理

设 (f(x)) 在 ([a, b]) 上连续，在 ((a, b)) 上可导，(f(a) = f(b))，则 (exists xi in (a, b), f'(xi) = 0)

证明：连续则有最值，不妨设 (f(x)) 不是常值函数 (Rightarrow) 最大（小）值 ( eq f(a) = f(b))

不妨设最大值点 (xi in (a, b))，由于 (f|_{(a, b)}) 可导 (Rightarrow) (f'(xi) = 0)

四、( ext{Lagrange}) 定理

设 (f(x)) 在 ([a, b]) 上连续，在 ((a, b)) 上可导，则 (exists xi in (a, b)) 使得

[f'(xi) = {f(b) - f(a) over b - a} ]

证明：令 (g(x) = f(x) - f(a) - {f(b) - f(a) over b - a}(x - a))

(g(a) = g(b) = 0,g'(x) = f'(x) - {f(b) - f(a) over b - a})

根据 ( ext{Rolle}) 定理，(exists xi in (a, b), g'(xi) = 0 Rightarrow f'(xi) = {f(b) - f(a) over b - a}),证毕

六、( ext{Cauchy}) 中值定理

设 (f(x), g(x)) 在 ([a, b]) 上连续，((a, b)) 上可导，且 (g'(x) eq 0)，则 (exists xi in (a, b))，使得

[{f'(xi) over g'(xi)} = {f(b) - f(a) over g(b) - g(a)} ]

证明与 ( ext{Lagrange}) 定理证明类似

定理：

设 (f(x)) 在 ([a, b]) 上连续，在 ((a, b)) 上可导，若 (f'(x)) 在 (x_0) 的左（右）极限存在，则 (f(x)) 在 (x_0) 的左（或右）导数满足

(f'_{pm}(x_0) = f'(x_0 pm 0) Rightarrow f'(x_0 - 0) = f'(x_0 + 0) = f'(x_0) Rightarrow) (f'(x)) 在 (x_0) 处连续，(f'(x)) 的间断点一定无左右极限

结论：导函数不存在第一类间断点

七、( ext{Darbsux}) 定理（导函数的介值性）

设 (f|_{[a, b]}) 可导，则对于介于 (f'(a), f'(b)) 之间的任意值 (lambda)，一定 (exists xi in [a, b])，使得 (f'(xi) = lambda)

证明：

不妨设 (f'(a) < f'(b))，并考虑 (f'(a) < 0 < f'(b))

(Rightarrow limlimits_{x o a^+}{f(x) - f(a) over x - a} = f'(a) < 0)

(Rightarrow exists delta_1) 使得当 (x in (a, a + delta_1)) 有 ({f(x) - f(a) over x - a} < 0 Rightarrow f(x) < f(a))

即当 (x in (a, a + delta_1)) 时，(f(x) < f(a))，同理当 (x in (b - delta_2, b)) 时，(f(x) < f(b))

(Rightarrow min f(x)) 一定在 ((a, b)) 内部，即 (exists xi in (a, b)) 使得 (f'(xi) = 0)

对于 (f'(a) < lambda < f'(b))，令 (g(x) = f(x) - lambda x Rightarrow g'(a) < 0 < g'(b))

(Rightarrow exists xi in (a, b))，使 (g'(xi) = 0 Rightarrow f'(xi) = lambda)，证毕

八、( ext{L'Hospital}) 法则

结论：

[limlimits_{x o x_0}{f'(x) over g'(x)} = l Rightarrow limlimits_{x o x_0}{f(x) over g(x)} = l ]

证明：

(frac 0 0) 型：

因为 (limlimits_{x o x_0}f(x) = 0, limlimits_{x o x_0}g(x) = 0)

不妨取 (f(x_0) = 0, g(x_0) = 0 Rightarrow f(x), g(x)) 在 (x_0) 处连续

[{f(x) over g(x)} = {f(x) - f(x_0) over g(x) - g(x_0)} = {f'(xi) over g'(xi)} ]

其中 (|xi - x_0| < |x - x_0|)，所以当 (x o x_0, xi o x_0)

[Rightarrow limlimits_{x o x_0}{f(x) over g(x)} = limlimits_{xi o x_0}{f'(xi) over g'(xi)} = l ]

(frac infty infty) 型：

类似地取 (xi, x_0 < xi < x_0 + delta)

[{f(x) over g(x)} = {f(x) - f(xi) over g(x) - g(xi)} - {f(x) - f(xi) over g(x) - g(xi)}{g(xi) over g(x)} + {f(xi) over g(x)} ]

令 (x o x_0, xi o x_0)

[{f(x) over g(x)} o {f'(x_0) over g'(x_0)} ]

可以推导出高阶导和趋于无穷的情况，不再赘述。

七、单调性与凸性

一、单调性

设 (f(x)) 可导 (Rightarrow egin{cases} f(x) uparrow & Rightarrow f'(x) geqslant 0 \ f(x) downarrow & Rightarrow f'(x) leqslant 0end{cases}) ，极值点处一定有 (f'(x) = 0)

二、凸性

若对 (forall alpha in (0, 1))， 有

[f(x_1 + (1 - alpha)(x_2 - x_1)) leqslant f(x_1) + (1 - alpha)(f(x_2) - f(x_1)) ]

或者写成

[f(alpha x_1 + (1 - alpha)x_2) leqslant alpha f(x_1) + (1 - alpha)f(x_2) \ ]

则称 (f(x)) 在定义域内是凸函数

由定义可推出等价结论：

[{f(x) - f(x_1) over x - x_1} leqslant {f(x_2) - f(x_1) over x_2 - x_1} leqslant {f(x_2) - f(x) over x_2 - x} ]

定理：

设 (f(x)) 在 (I) 上连续

1. 若 (f|_I) 可导，则 (f(x)) 凸 (iff f'(x)uparrow)（严格）
2. 若 (f|_I) 二阶可导，则 (f(x)) 凸 (iff f''(x) > 0)

1. 证明：

   ((Rightarrow)) 分别求端点导数即可

   ((Leftarrow)) 拉格朗日中值

2. 证明同理可得

三、拐点

(f(x)) 凸性改变的点叫拐点

定理：

在 (x_0) 的邻域内，满足在 (x_0) 左边 (f'(x) uparrow)，右边 (f(x) downarrow)，则 (x_0) 是拐点

四、曲率

[alpha = arctan{ ext dy over ext dx} = arctan y' Rightarrow { ext dalpha over ext dx} = {|y''| over 1 + y'^2}\ kappa = { ext d alpha over ext d s} = { ext d alpha over ext d x} / { ext d s over ext d x} = {|y''| over 1 + y'^2} / sqrt{1 + y'^2} = {|y''| over (1 + y')^{frac 3 2}} ]

用参数方程表示，设 (x = varphi(t), y = psi(t), y = f(x))

[egin{aligned} Rightarrow f' = {psi' over varphi'}, f'' = {psi''varphi' - varphi''psi' over varphi'^3} \ Rightarrow kappa = {psi''varphi' - varphi''psi' over (psi'^2 + varphi'^2)^{frac 3 2}} end{aligned} ]

八、( ext{Taylor}) 展开

一、( ext{Taylor}) 公式

设 (f(x)) 在 (x_0) 附近 (n) 阶可导

( ext{Peano}) 余项公式：

[f(x) = f(x_0) + {f'(x_0) over 1!}(x - x_0) + cdots {f^{(n)}(x_0) over n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) ]

特别地当 (x_0 = 0) 时有：

( ext{Maclaurim}) 公式：

[f(x) = f(0) + {f'(0) over 1!}(x) + cdots {f^{(n)}(0) over n!}(x)^n + o(x^n), x o 0 ]

待定系数法+多次 ( ext{L'Hospital}) 法则可以求得各系数的值，满足余项是 (n) 次项的高阶无穷小

二、余项的估计

设 (f(x)) 在 (x_0) 的领域内有 (n + 1) 阶导数，(T_n(x)) 是 (f(x)) 在 (x_0) 处的 (n) 阶 ( ext{Taylor}) 多项式

则在 (x) 和 (x_0) 之间 (exists xi)，使得

[f(x) = T_n(x) +{f^{(n + 1)} over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} ]

证明：

设辅助函数

[g(t) = f(t) - T_n(t) - {f(x) - T_n(x) over (x - x_0)^{n+ 1}}(t - x_0)^{n + 1}, t in I ]

(g(t)) 有 (n + 1) 阶导数，且满足

[g(x_0) = g(x) = 0, g^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) - T_n^{k}(x_0) = 0, k = 1, 2, cdots, n ]

重复运用微分中值定理可推得

[exists xi in (x_0, x), g^{(n + 1)}(xi) = f^{(n + 1)}(xi) - (n + 1)!{f(x) - T_n(x)over(x - x_0)^{n + 1}} ]

即

[f(x) = T_n(x) + {f^{(n + 1)}(xi) over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} ]

并令

[R_n(x) = {f^{(n + 1)}(xi) over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} ]

(R_n(x)) 称作 ( ext{Lagrange}) 余项

推论：

1. 若 (f(x)) 的 (n + 1) 阶导数有界，(|f^{(n + 1)}(x)| leqslant M Rightarrow Rightarrow |R_n(x)| leqslant {M over (n + 1)!}|x - x_0|^{n + 1})

2. 若 (f(x)) 在 (I) 内 (n + 1) 阶可导，(x_0) 是 (f(x)) 的 (r(r < n)) 重零点当且仅当存在函数 (g(x))

   [f(x) = (x - x_0)^rg(x), g(x_0) eq 0 ]

三、初等函数的展开式

下面给出部分初等函数具有 ( ext{Lagrange}) 余项的 ( ext{Maclaurim}) 公式

[egin{aligned} & e^x = 1 + x + {x^2 over 2!} + cdots + {x^n over n!} + {e^{ heta x} over (n + 1)!}x^{n+1}, & -infty < x < +infty, \ & ln(1+x) = x - {x^2 over 2!} + cdots + (-1)^{n - 1}{x^n over n} + {(-1)^nx^{n+1}over(n+1)(1+ heta x)^{n+1}}, & x > -1, \ & sin x = x - {x^3 over 3!} + cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 1} over (2m - 1)!} + {(-1)^mx^{2m+1} over (2m+1)!}cos heta x, & -infty < x < +infty, \ & cos x = 1 - {x^2 over 2!} + cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 2} over (2m - 2)!} + {(-1)^mx^{2m} over (2m)!}cos heta x, & -infty < x < +infty, \ & (1+x)^alpha = 1 + alpha x + {alpha(alpha - 1) over 2!}x^2 + cdots + {alpha^{underline{n}} over n!}x^n + {alpha^{underline{n + 1}} over (n + 1)!}x^{n + 1}(1 + heta x)^{alpha - n - 1}, & x > -1 end{aligned} ]

结论：初等函数在定义域内任意一点可以展开成任意阶的 ( ext{Taylor}) 多项式

( ext{Taylor}) 展开的一些用途：

1. 可以用 ( ext{Taylor}) 展开方便地求函数的高阶导
2. 化为多项式方便计算极限