【算法总结】组合数学相关

【组合数】

〖相关知识〗

通项公式：$C(n,m)=frac{n!}{m!(n-m)!}$

递推公式：$C(n,0)=1~(ngeq 0)$ ，$C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C（n-1,m)~~(1leq mleq n)$

含义：从 $n$ 个不同的元素中取出 $m$ 个的方案数。

〖模板代码〗

int main()
{
    for(int i=0;i<N;i++)f[i][0]=1;//注意是0~N而非1~N 
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%mod;
    return 0;
}

【第一类斯特林数】

〖相关知识〗

递推公式：$S(n,n)=1~(ngeq 0)$ ， $S(n,0)=0~(ngeq 1)$ ， $S(n,m)=(n-1)cdot S(n-1,m)+S(n-1,m-1)~~(1leq mleq n-1)$ 

含义：将 $n$ 个不同的元素组成 $k$ 个环的方案数。

【第二类斯特林数】

〖相关知识〗

通项公式：$S(n,m)=frac{1}{m!}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C(m,k)(m-k)^{n}$ （证明详见百度百科）

递推公式：$S(n,n)=1~(ngeq 0)$ ， $S(n,0)=0~(ngeq 1)$ ， $S(n,m)=mcdot S(n-1,m)+S(n-1,m-1)~~(1leq mleq n-1)$ 

含义：将 $n$ 个不同的元素拆分成 $m$ 个集合的方案数。

〖相关题目〗

1.【codeforces 961G】Partitions

题意：见原题

分析：无

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int mod=1e9+7;
int n,m,w,ans,fac[N],inv[N];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int power(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
    }
    return ans;
}
int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int S(int n,int m)
{
    int ans=0;
    for(int k=0;k<=m;k++)
    {
        if(k&1)w=-1;else w=1;
        w=(1ll*w*C(m,k)%mod+mod)%mod;
        w=1ll*w*power(m-k,n)%mod;
        ans=(ans+w)%mod;
    }
    return 1ll*ans*inv[m]%mod;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        w=read(),ans=(ans+w)%mod;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[m]=power(fac[m],mod-2);
    for(int i=m;i>=1;i--)
        inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    printf("%lld",1ll*(S(n,m)+1ll*(n-1)*S(n-1,m)%mod)%mod*ans%mod);
    return 0;
}

【贝尔数】

〖相关知识〗

递推公式：$B(0)=1$ ，$B(n+1)=sum _{k=0}^{n}inom{n}{k}B(k)$

含义：基数为 $n$ 的集合划分数。

与第二类斯特林数的关系：$B(n)=sum _{k=1}^{n}S(n,k)$

【卡特兰数】

〖相关知识〗

递推公式：$H(0)=1$ ，$H(1)=1$ ，$H(n)=H(0)H(n-1)+H(1)H(n-2)+cdots +H(n-1)H(0)$

                 $H(n)=frac{H(n-1)cdot (4n-2)}{n+1}$

                 $H(n)=frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n-1)$

【错排公式】

〖相关知识〗

通项公式：$f(n)=n!cdotsum_{i=2}^{n}frac{(-1)^i}{i!}$

递推公式：$f(n)=(n-1)cdot (f(n-1)+f(n-2))$

                 $f(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^icdotinom{n}{i}cdot(n-i)!=sum_{i=0}^{n}(-1)^icdotfrac{n!}{i!}=(-1)^n+sum_{i=0}^{n-1}(-1)^icdotfrac{n!}{i!}=(-1)^n+ncdot f(n-1)$

【二项式反演】

〖相关知识〗

二项式定理：$(x+y)^n=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}x^iy^{n-i}$

二项式反演：$b_n=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}a_iRightarrow a_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}b_i$

                     $b_k=sum_{i=k}^{n}inom{i}{k}a_iRightarrow a_k=sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}inom{i}{k}b_i$