【bzoj 2159】Crash 的文明世界

Description

Crash小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(Civilization V)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。在游戏中，Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：$S(i)=sum _{j=1}^Ndist(i,j)^k$。其中S(i)表示第i 个城市的指标值，dist(i, j)表示第i个城市到第j个城市需要经过的道路条数的最小值，k为一个常数且为正整数。因此Crash交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数 mod 10007 的值。

Input

输入的第一行包括两个正整数N和k。下面有N-1行，每行两个正整数u、v (1 ≤ u, v ≤ N)，表示第u个城市和第v个城市之间有道路相连。这些道路保证能符合题目的要求。

Output

输出共N行，每行一个正整数，第i行的正整数表示第i个城市的指标值 mod 10007 的值。

用结论来化简式子：$x^n=sum _{i=1}^n S(n,i)cdot F(x,i)$

$S(n,i)$为第二类斯特林数，$F(x,i)=frac{x!}{(x-i)!}$

可得：$$egin{align*} ans(i)&=sum _{j=1}^ndist(i,j)^m\ &=sum_{j=1}^{n}sum_{k=1}^{m}S(m,k)cdot F(dist(i,j),k)\ &=sum_{k=1}^{m}S(m,k)sum_{j=1}^{n} F(dist(i,j),k)\ &=sum_{k=1}^{m}S(m,k)cdot k!cdot sum_{j=1}^{n} C(dist(i,j),k) end{align*}$$

根据组合数递推公式：$C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$ 就可以很方便的对后面的部分进行树形dp了。

具体地，令 $up(x,i)$ 为不在 $x$ 的子树中的部分的贡献，令 $dn(x,i)$ 为 $x$ 的子树的贡献。特别的，$dn(x,0)=1$。

详见代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=5e4+5;
const int M=155;
const int mod=1e4+7;
int n,m,u,v,cnt,ans,tmp;
int first[N],fac[M],s[M][M];
int up[N][M],dn[N][M];
struct edge{int to,next;}e[N*2];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
void Mod(int& a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
void dfs1(int x,int fa)
{
    dn[x][0]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        dfs1(to,x);
        Mod(dn[x][0],dn[to][0]);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            Mod(dn[x][j],(dn[to][j]+dn[to][j-1])%mod);
    }
}
void dfs2(int x,int fa)
{
    if(fa!=-1)
    {
        up[x][0]=n-dn[x][0];
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            Mod(up[x][i],(up[fa][i]+up[fa][i-1])%mod);
            Mod(up[x][i],(dn[fa][i]+dn[fa][i-1])%mod);
            Mod(up[x][i],(2*mod-dn[x][i]-dn[x][i-1])%mod);
            Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-1])%mod);
            if(i!=1)Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-2])%mod);
        }
    }
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
        if(e[i].to!=fa)dfs2(e[i].to,x);
}
int main()
{
    int L,now,A,B,Q;
    n=read();m=read();L=read();
    now=read();A=read();B=read();Q=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        now=(now*A+B)%Q;
        tmp=i<L?i:L;
        u=i-now%tmp;v=i+1;
        ins(u,v);ins(v,u);
    }
//    n=read();m=read();
//    for(int i=1;i<n;i++)
//    {
//        u=read();v=read();
//        ins(u,v);ins(v,u);
//    }
    fac[0]=s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j]*j+s[i-1][j-1])%mod;
    }
    dfs1(1,-1);dfs2(1,-1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            Mod(ans,s[m][j]*fac[j]%mod*(up[i][j]+dn[i][j])%mod);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}