关于排列组合问题的基础补充



例谈排列组合中的分组问题

转自：http://res.tongyi.com/resources/old_article/student/5638.html

分组问题，由于涉及的面比较广，所以是排列、组合中的难点。历年来的教学使我体会到，如果只是断章取义的去教学，不从根本上去加以理解、归纳，那么就很难正确的解答各类题型，下面通过例题予以浅谈。

一、非均匀分组

所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

（1）分成三组，分别为1人、2人、4人；

（2）选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。

解：（1）选出1人的方法有种，再由剩下的6个人中选出2人的方法有种，剩下的4人为一组有种，依分步计数原理得分组的方法有

（种）

（2）可直接从7人中选出2人的方法有种，再由余下的5个人中选3人的方法有种，所以依分步计数原理，分组的方法有：（种）。

也可先选取5人，再分为两组有（种）。

二、均匀分组

所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

1. 全部均匀分组

例2. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？

分析：记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察

表1

选3人	再选3人	分组方法种数
a b c d e f	d e f a b c	这两种只能 算一种分法
a b c d e g	d e g a b c	这两种只能 算一种分法
……	……	……

由表1可见，把abc，def看作2个元素顺序不同的排列有种，而这只能算一种分组方法。

解：选3人为一组有种，再选3人为另一组有种，依分步计数原理，又每种分法只能算一种，所以不同的分法有（种）。

也可以先选再分组为＝70（种）

2. 部分均匀分组

例3. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？

分析：记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察

表2

选2个	再选2	又选2个	剩下四个	分组方法数
a b a b c d c d e f e f	c d e f a b e f a b c d	e f c d e f a b c d a b	g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j
……	……	……	……	…|…

由表可见，把ab、cd、ef看作三个元素顺序不同的排列时有种排法，而这种只能算一种分法。

解：因为分成2个、2个、2个、4个元素的四个堆，分别为种，由分步计数原理及每中只能算一种不同的分组方法得

（种）

由此可见，不论全部均匀分组还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的排法只能算一种分法。

三、编号分组

1. 非均匀编号分组

例4. 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？

解：分组的方法有（种）

注：由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可。

2. 部分均匀编号分组

例5. 有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法？

分析：5本不同的书全部分给3人有两类情况，一类是一人得3本；另外两人各得1本；另一类是一人得1本，另外两人各得2本。

解：（1）将书分成3本、1本、1本三组，再分给三个人的方法有：

（种）

（2）将书分成2本、2本、1本三组，再分给三人共有：

（种）

所以，总的分组方法有

60＋90＝150（种）

注：此类题型只要先分组再排列即可。

四、综合归类练习

例6. 已知集合A含有4个元素，集合B含3个元素，现建立从A到B的映射f：A→B，使B中的每个元素在A中都有原象的映射有多少个？

解：先把A中的4个元素分成3组，即2个、1个、1个，所有分组方法有种。

再把B中的3个元素看成3个位子，然后在3个位子全排有

种

因此使B中的元素都有原象的映射有36个。

例7. 将5个编号不同的小球放入3个盒，使每个盒子都不空的投法有多少种？

解：先将5个小球分成3组，只有两种分法，即3个，1个，1个；2个，2个，1个。其分组种数分别为，再把它们分别在3个盒子全排即得：

＝（10＋15）×6＝180（种）。

注：这两道题都属于部分均匀分组再排列问题，可见组合问题应用面广，题型多变，需结合前面所讲加深理解。

例8. 现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人

（1）甲得1本、乙得2本、丙得3本，共有多少种不同的分法？

（2）甲、乙、丙三人均得2本有多少种不同的分法？

（3）一人得1本、一人得2本、一人得3本，共有多少种不同的分法？

（4）三人中的一人得1本、另外两人各得1本，共有多少种不同的分法？

答案：（1）＝60（种）（属非均匀分组）

（2）（种）（属均匀编号分组）

（3）＝360（种）（属非均匀编号分组）

（4）（种）（属部分均匀编号分组）