数论总结帖

欧拉函数：

用途：对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

通式：

  

,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，

  

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

中国剩余定理  

鸽巢原理（抽屉原理）：

鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。

其中一种简单的表述法为：

   若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。

另一种为：

   若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。

如果要把n个物件分配到m个容器中，必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。（⌈x⌉大于等于x的最小的整数）

容斥原理：

容斥原理又称排容原理，在组合数学里，其说明若, ...,  为有限集，则

其中表示的基数。例如在两个集的情况时，我们可以透过将和相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。

也可以写成：

特殊情况：

如果在容斥原理的概率形式中，交集A_I的概率只与I中元素的个数有关，也就是说，对于{1, ..., n}中的每一个k，都存在一个a_k，使得：

，对于每一个

则以上的公式可以简化为：

欧几里得：

扩展欧几里得：

莫比乌斯：

线性同余：