hdu 5171 GTY's birthday gift

GTY's birthday gift

问题描述

 GTY的朋友ZZF的生日要来了，GTY问他的基友送什么礼物比较好，他的一个基友说送一个可重集吧！于是GTY找到了一个可重集S，GTY能使用神犇魔法k次，每次可以向可重集中加入一个数 a+b (a,bin S)a+b(a,b∈S)，现在GTY想最大化可重集的和，这个工作就交给你了。
  注：可重集是指可以包含多个相同元素的集合

输入描述

多组数据（约3组），每组数据的第一行有两个数n,k(2 leq n leq 100000,1 leq k leq 1000000000)n,k(2≤n≤100000,1≤k≤1000000000) 表示初始元素数量和可使用的魔法数，第二行包含n个数a(1 leq a_i leq 100000)a(1≤a​i​​≤100000)表示初始时可重集的元素

输出描述

对于每组数据，模10000007输出可重集可能的最大和。

输入样例

3 2
3 6 2

输出样例

35

这道题的解题思路很简单，用矩阵快速幂实现一个斐波那契数列求和（初值改变）

难点在于矩阵的构造，首先列出三个要维护的值

|   sum     |

|  a[n-1]  |

|  a[n-2]  |

那么可以想到这个矩阵的下一个形式必然为

| sum+a[n-1]+a[n-2] |

| a[n-1]+a[n-2]         |

| a[n-1]                     |

由此可以得到需要构造的友矩阵为

| 1 1 1 |

| 0 1 1 |

| 0 1 0 |

有了这个友矩阵，就可以进行矩阵快速幂了，先求

| 1 1 1 |

| 0 1 1 |  的K次方，然后再乘以初始矩阵就可以得到sum

| 0 1 0 |

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=111;
const int Max=1e5+10;
const int MOD=10000007;
int a[Max];
struct matrix
{
    int w;
    LL m[maxn][maxn];        //注意矩阵也要用LL,不然会出现溢出
    matrix(int ww):w(ww){memset(m,0,sizeof(m));};
    matrix(){}
};
matrix operator * (matrix a,matrix b)
{
    matrix res(3);
    LL x;
    for(int i=0;i<res.w;i++)
    {
        for(int j=0;j<res.w;j++)
        {
            x=0;
            for(int k=0;k<res.w;k++)
            {
                x=(x+(LL)a.m[i][k]*b.m[k][j])%MOD;
            }
            res.m[i][j]=x;
        }
    }
    return res;
}
matrix fast_cover(int k)
{
    matrix base(3);
    base.m[0][0]=base.m[0][1]=base.m[0][2]=1;
    base.m[1][1]=base.m[1][2]=base.m[2][1]=1;
    base.m[1][0]=base.m[2][0]=base.m[2][2]=0;
    matrix s(3);
    s.m[0][0]=s.m[1][1]=s.m[2][2]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) s=s*base;
        base=base*base;
        k>>=1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    int n,k;LL sum;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)  scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
        sort(a,a+n);
        matrix ss=fast_cover(k);
        LL ans=(ss.m[0][0]*sum+ss.m[0][1]*a[n-1]+ss.m[0][2]*a[n-2])%MOD;
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}