多项式的化简求法

前言：

作为一名OIer，数学推导一定不能差。

例子：

用尽量快的方法求以下式子：

1. $sum_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i}~~~ (n in N_+)$
2. $sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i~~~~ (2|n)$
3. $sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i~~~~ (n=2k+1,kin N_+)$
4. $sum_{i=1}^n i^2$

用$sum$只是为了好看，建议读者把求和式展开。

公式：

1. $a^n-b^n=(a-b)*sum_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i}~~~ (n in N_+)$
2. $a^n-b^n=(a+b)*sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i~~~~ (2|n)$
3. $a^n+b^n=(a+b)*sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i~~~~ (n=2k+1,kin N_+)$
4. $sum_{i=1}^n i^2=n*(n+1)*(2n+1)/6$

推导：

1. $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a^n-b^n=(a-b)*sum_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i}~~~ (n in N_+)$

$右边=sum_{i=1}^na^i*b^{n-i}-sum_{i=0}^{n-1}a^i*b^{n-i}$
$=a^n*b^0-a^0*b^n=a^n-b^n$

2. $~~~~~~~~~~~a^n-b^n=(a+b)*sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i~~~~ (2|n)$

$右边=sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-i}*b^i-sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}*a^{n-i}*b^i=a^n-b^n$

3. 类似2的证明。

4.$~~~~~~~~sum_{i=1}^n i^2=n*(n+1)*(2n+1)/6$

$n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]$
$=n^2+(n-1)^2+n^2-n$
$=2*n^2+(n-1)^2-n$
$n^3-1^3=n^3-(n-1)^3+(n-1)^3-(n-2)^3……+2^3-1^3$
$n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)$
$n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)$
$n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1$
$n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2$
$3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)$
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6$

结论：

1. $sum_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i}=(a^n-b^n)/(a-b)~~~ (n in N_+)$
2. $sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i=(a^n-b^n)/(a+b)~~~~ (2|n)$
3. $sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*a^{n-1-i}*b^i=(a^n+b^n）/(a+b)~~~~ (n=2k+1,kin N_+)$
4. $sum_{i=1}^n i^2=n*(n+1)*(2n+1)/6$

1~3$都由可以用快速幂从O(n)优化到O(log ~n).$

4由$O(n)优化成O(1)$.

推广：

如果1~3要求取模，那就用快速幂+乘法逆元。