序
今天正在刷数学函数相关题目，刷到了下面这篇文章，哇哦～有意思。 利用cos和sin实现复杂的曲线。传送门在下面。
CSS 技巧一则 -- 在 CSS 中使用三角函数绘制曲线图形及展示动画
正巧在复习一些数学知识，遂动手实践了一把使用 数学中的函数 使用css画连续曲线。
函数: 第一步
在数学中 函数 是指 ，一组定义域通过一组表达式， 映射到一组值域，也就是说 函数 f(x) = x^2 表示一个集合，每个输入x，固定通过x^2返回一个值y，由此定义可得：
当集合 X = {-2, -1, 0, 1, 2} 输入到函数f，得到的值域集合 Y = { y | y >= 0 }。
我们也可以通过列表格，更直观的列举出函数的值：
当x = 1 时 y等于 1
当x = 2时 y等于 4
| x= | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| y= | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | ... |
由这个表格，我们可以在坐标轴画出关于y = f(x) = x^2的函数的样子：
开口控制
如果我们在y = x^2 加个负号会怎么样呢,y = f(x) = -(x ^ 2)
图像会倒过来变成像 n 这样的样子？
就这样，我们可以通过这个函数，得到两种曲线，正的u 和 反的n。 那么问题来了，要画任意曲线，那么意味着，曲线要可大可小，可以在图中的任意一个位置，要怎么办呢？
嗯 仔细想想，如果函数 f(x) = x^2 再让它除以-2呢
f(x) = x^2 / -2
| x= | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| y= | -2 | -1/2 | 0 | -1 /2 | -2 | ... |
手动画一下图像大约长下面这样：
y会因为除以2变得更小（想象一下两侧的y值会变小），当x = 2 , y就会等于2, 这样的结果是曲线变宽。
那么我们也可以知道 如果 换成 f(x) = x^2 * 2, 当x=2，y等于4，曲线会变窄。
如果除以的数变成了负数，开口就会向下。
由上面我们可以得到一个可以控制曲线开口大小的函数
也可以换算到 f(x) = x^2 / t 当t 大于0，曲线开口向上，t小于0，曲线开口向下
左右偏移控制
现在我们可以控制开口大小，那么怎么样控制曲线左右移动呢？
假设左右偏移量是P
设函数 f(x) = (x - P)^2，P = 1 得到下面的表格：
| x= | -2 - 1 | -1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 1 | 2 - 1 | 3 - 1 |
| y= | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
还是用图像，大概长这样：
可以看到，P的取值影响图像的左右偏移
上下偏移控制
控制上下偏移，实际上就是控制函数 f(x) = x ^2的值y的大小，只需要将 f(x) = x ^2 - H 就可以控制上下啦
假设上下偏移量是H
设函数 f(x) = x^2 + H，H = 1 得到下面的表格：
| x= | -2 | -1 |
0 |
1 |
2 |
... |
| y= | 5 | 2 | 1 | 2 | 4 | ... |
图就不画啦，可以直接看到x=0时，顶点已经不再0上了，向上偏移了1位
值域区间和宽度的关系
什么是区间
好了，理解了上面的东西，万事俱备，接下来就是更复杂一点的问题了！
接下来，工程问题，曲线
目标，使用函数
实现开头引用文章中，利用 cos和sin实现的曲线。
分析
通过上面对函数的分析我们可以得到一个式子：
设 抛物线开口 = T
设 左右偏移 = P
设 上下偏移 = H
设 定义域 = [a, b] （开区间a到开区间b）
函数 f(x) = (x - P) ^ 2 / T - H, T > 0 开口向上
函数g(x) = (x - P) ^ 2 / (T) - H, T < 0 开口向下
现在我们要使弧线A的结束点是弧线B的起始点，并且调换方向，那么：
如图的推理过程，首先反转A，将A向下移动H,再向左移动P，得到一个新的弧度，以此类推递归：
然后用js实现一个简单的算法如下：
// g(x) = f(x-(b-a)) - 2* f(a)， T < 0 function g (x, T, P, range) { const [a, b] = range return f(x - (b - a), T, P, range) - 2 * f(0, T, P, range) } // 当 T < 0 相当于上面图中的 p(x) = (x - (- (T / B * f(b - a)))) / T， T < 0 // 当 T > 0 直接计算 f(x) = (x - P) ^ 2 / T, T > 0 function f (x, T, P, range, s) { const [a, b] = range if (T < 0 && !s) { return Math.pow(x - (-(T / b * f(b - a, T, P, range, true))), 2) / T } if (T > 0 || s) { return Math.pow(x - P, 2) / T } } // 选择初始函数 function getY (x, T, P, range) { if (T > 0) { return f(x, T, P, range) } else { return g(x, T, P, range) } } //获取一堆x，y点组成的集合， size = 波浪数量，origin=原点，item = 配置P H T变量，points和ysize为递归存储数据 function GetPoints(size, origin, item, points = [], ysize) { if (ysize === undefined) { ysize = size } if (size <= 0) { return points } const z = size % 2 === 0 const M = 1 // 密度 const width = item.b - item.a // 宽度 let i = width; while (i >= -width) { const point = [ (origin[0] + i) + (ysize - size) * (width * 2), // x origin[1] + getY(i, (z ? item.T : -item.T), item.P, [ // y item.a, item.b ]) ] points.push(point) i -= M; } GetPoints(size-1, origin, { a: item.a, b: item.b, T: item.T, P: item.P }, points, ysize) return points; }
效果
通过一连串懵逼式的计算和换算，我们有了一个可以获取固定数量相连的曲线，通过T控制开口，P控制x偏移，定义域[a,b]控制宽度,我们来实现骚操作：
拉到本地跑一跑：
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="ie=edge">
<title>Document</title>
<style>
.circle {
position: absolute;
1px;
height: 1px;
background: #333;
border-radius: 50%;
left: 0px;
top: 0px;
transition: all 200ms;
}
</style>
</head>
<body>
<div class="circle" id="circle"></div>
<script>
function g (x, T, P, range) {
const [a, b] = range
return f(x - (b - a), T, P, range) - 2 * f(0, T, P, range)
}
function f (x, T, P, range, s) {
const [a, b] = range
if (T < 0 && !s) {
return Math.pow(x - (-(T / b * f(b - a, T, P, range, true))), 2) / T
}
if (T > 0 || s) {
return Math.pow(x - P, 2) / T
}
}
function getY (x, T, P, range) {
if (T > 0) {
return f(x, T, P, range)
} else {
return g(x, T, P, range)
}
}
function GetPoints(size, origin, item, points = [], ysize) {
if (ysize === undefined) {
ysize = size
}
if (size <= 0) {
return points
}
const z = size % 2 === 0
const M = 1 // 密度
const width = item.b - item.a // 宽度
let i = width;
while (i >= -width) {
const point = [
(origin[0] + i) + (ysize - size) * (width * 2), // x
origin[1] + getY(i, (z ? item.T : -item.T), item.P, [ // y
item.a,
item.b
])
]
points.push(point)
i -= M;
}
GetPoints(size-1, origin, {
a: item.a,
b: item.b,
T: item.T,
P: item.P
}, points, ysize)
return points;
}
/**
* 生成box-shadow参数
*/
function getBoxShadow (color = '#333') {
let points = GetPoints(6, [500, 100], {
a : 0,
b : 100,
T : 200,
P : 0
})
// const s = []
const s = points.map((point) => `${point[0]}px ${point[1]}px 0 0 ${color}`)
return s.join(',')
}
document.querySelector('#circle').style.cssText = `box-shadow: ${getBoxShadow()}; transform: rotate(90deg) translate(-500px, -500px)`
</script>
</body>
</html>
一毛一样，大功告成。
展望
利用数学函数，我们也可以画出使用sin / cos一毛一样的曲线，更多的，我们也可以用它来描绘一个物体的运动动作，例如波浪运动，抛物线运动。
甚至可以用css画苦逼脸：
加点动画玩玩
延续
数学与编程，有时候真的是相依相承的东西。从工程的角度来说，数学和程序算法有非常重要的关系，推荐大家阅读《数学与泛型编程》（高效编程的奥秘），受益匪浅，感觉整个程序职业生涯有了一次很棒的升华！
完。