斯特林数学习笔记

第一类斯特林数

我们记(egin{bmatrix}n\mend{bmatrix})为将(n)个不同的数分为(m)个非空圆排列的方案数, 即第一类斯特林数

有

[displaystyle egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}+(n-1)*egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix} ]

要么第(n)个数单独成环, 要么将第(n)个数接到前面某一个数的后面, 第二种是有(n - 1)种选择方式的

第一类斯特林数的几条性质

第一条

[displaystyle n! = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} ]

假设下式成立

[displaystyle n! = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n \ iend{bmatrix} ]

使用归纳法证明, 则有

[displaystyle egin{aligned} sum_{i = 0}^{n + 1}egin{bmatrix}n + 1 \ iend{bmatrix} &= egin{bmatrix}n + 1 \ n + 1end{bmatrix} + sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n + 1 \ iend{bmatrix}\ &=sum_{i = 0}^{n}(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}) + egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\ &=n * sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\ &=n*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\ &=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\ &=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\n+1end{bmatrix}\ &=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+(n +1)*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+0\ &=(n+1)*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}\ &=(n+1)*n!\ &=(n+1)! end{aligned} ]

故第一条性质成立(保证n=1时成立, 下同)

第二条

[displaystyle x^{underline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i ]

同上, 假设下式成立

[displaystyle x^{underline n}=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i ]

还是使用归纳法证明, 有

[displaystyle egin{aligned} x^{underline {n+1}}&=(x-n)x^{underline n}\ &=xsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i-nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\ &=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i+1}-(-1)*(-1)*nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\ &=sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i-egin{bmatrix}n\0 - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1}x^0+(-1)*nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\ &=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\ &=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*sum_{i = 0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\ &=sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{n+1-i}x^i(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix})\ &=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\ &=sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\ end{aligned} ]

故第二条性质成立

第三条

[displaystyle x^{overline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i ]

同上, 假设下式成立

[displaystyle x^{overline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i ]

仍使用数学归纳法证明, 有

[displaystyle egin{aligned} x^{overline {n+1}}&= (x+n)x^{overline n}\ &=x*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i + n * sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\ &=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^{i+1}+n*sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\ &=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}x^i+n*sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\ &=sum_{i=1}^{n+1}x^i(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix})\ &= sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}x^i\ &= sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}x^i\ end{aligned} ]

以上只为一些简单的性质, 并不是全部的性质(然而我也不知道有哪些性质)

第二类斯特林数

记(egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix})为将(n)个不同的数组成(m)个非空集合的方案数, 即第二类斯特林数

有

[displaystyle egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}+m*egin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix} ]

即要么第(n)个元素单独为一个集合, 要么将其放入之前的集合, 第二种有(m)个集合可供选择

第二类斯特林数的几条性质

我所知道的唯一一条

[displaystyle n^m=sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i! ]

假设下式成立

[displaystyle n^m=sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i! ]

使用数学归纳法证明

[displaystyle egin{aligned} n^{m+1}&=n^m*n\ &=n*sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\ &=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\ &=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\ &=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*frac{n!}{(n-i)!}\ &=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+frac{(n-i)*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+frac{egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i-1)!}\ &= n!*(sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!})\ &= n!*(sum_{i=1}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!})\ &= n!*sum_{i=1}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}+egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &= n!*sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &= n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &= sum_{i=1}^{m+1}frac{n!*egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\ &= sum_{i=1}^{m+1}frac{n!*egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{i!*(n-i)!}*i!\ &= sum_{i=1}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\ &= sum_{i=1}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\ &= sum_{i=0}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\ end{aligned} ]

故此性质成立