第一类斯特林数
我们记(egin{bmatrix}n\mend{bmatrix})为将(n)个不同的数分为(m)个非空圆排列的方案数, 即第一类斯特林数
有
[displaystyle
egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}+(n-1)*egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix}
]
要么第(n)个数单独成环, 要么将第(n)个数接到前面某一个数的后面, 第二种是有(n - 1)种选择方式的
第一类斯特林数的几条性质
第一条
[displaystyle n! = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}
]
假设下式成立
[displaystyle n! = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n \ iend{bmatrix}
]
使用归纳法证明, 则有
[displaystyle
egin{aligned}
sum_{i = 0}^{n + 1}egin{bmatrix}n + 1 \ iend{bmatrix} &= egin{bmatrix}n + 1 \ n + 1end{bmatrix} + sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n + 1 \ iend{bmatrix}\
&=sum_{i = 0}^{n}(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}) + egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\
&=n * sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\
&=n*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\
&=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+egin{bmatrix}n+1\n+1end{bmatrix}\
&=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\n+1end{bmatrix}\
&=(n + 1)*sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}+(n +1)*egin{bmatrix}n\nend{bmatrix}+0\
&=(n+1)*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}\
&=(n+1)*n!\
&=(n+1)!
end{aligned}
]
故第一条性质成立(保证n=1时成立, 下同)
第二条
[displaystyle x^{underline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i
]
同上, 假设下式成立
[displaystyle x^{underline n}=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i
]
还是使用归纳法证明, 有
[displaystyle
egin{aligned}
x^{underline {n+1}}&=(x-n)x^{underline n}\
&=xsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i-nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\
&=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i+1}-(-1)*(-1)*nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\
&=sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i-egin{bmatrix}n\0 - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1}x^0+(-1)*nsum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\
&=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\
&=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i - 1end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i+n*sum_{i = 0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\
&=sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{n+1-i}x^i(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix})\
&=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\
&=sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\
end{aligned}
]
故第二条性质成立
第三条
[displaystyle x^{overline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i
]
同上, 假设下式成立
[displaystyle x^{overline n} = sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i
]
仍使用数学归纳法证明, 有
[displaystyle
egin{aligned}
x^{overline {n+1}}&=
(x+n)x^{overline n}\
&=x*sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i + n * sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\
&=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^{i+1}+n*sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\
&=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}x^i+n*sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i\
&=sum_{i=1}^{n+1}x^i(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix}+n*egin{bmatrix}n\iend{bmatrix})\
&= sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}x^i\
&= sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}x^i\
end{aligned}
]
以上只为一些简单的性质, 并不是全部的性质(然而我也不知道有哪些性质)
第二类斯特林数
记(egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix})为将(n)个不同的数组成(m)个非空集合的方案数, 即第二类斯特林数
有
[displaystyle
egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}+m*egin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix}
]
即要么第(n)个元素单独为一个集合, 要么将其放入之前的集合, 第二种有(m)个集合可供选择
第二类斯特林数的几条性质
我所知道的唯一一条
[displaystyle
n^m=sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!
]
假设下式成立
[displaystyle
n^m=sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!
]
使用数学归纳法证明
[displaystyle
egin{aligned}
n^{m+1}&=n^m*n\
&=n*sum_{i=0}^{m}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\
&=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\
&=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\
&=sum_{i=0}^{m+1}n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}*frac{n!}{(n-i)!}\
&=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{n*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+frac{(n-i)*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&=n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+frac{egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i-1)!}\
&= n!*(sum_{i=0}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!})\
&= n!*(sum_{i=1}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}+sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!})\
&= n!*sum_{i=1}^{m+1}frac{i*egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}+egin{Bmatrix}m\i-1end{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&= n!*sum_{i=1}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&= n!*sum_{i=0}^{m+1}frac{egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&= sum_{i=1}^{m+1}frac{n!*egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{(n-i)!}\
&= sum_{i=1}^{m+1}frac{n!*egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}}{i!*(n-i)!}*i!\
&= sum_{i=1}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*frac{n!}{i!*(n-i)!}*i!\
&= sum_{i=1}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\
&= sum_{i=0}^{m+1}egin{Bmatrix}m+1\iend{Bmatrix}*C_n^i*i!\
end{aligned}
]
故此性质成立