luogu11月月赛T3咕咕咕（组合数学）

题目描述

小 F 是一个能鸽善鹉的同学，他经常把事情拖到最后一天才去做，导致他的某些日子总是非常匆忙。

比如，时间回溯到了 2018 年 11 月 3 日。小 F 望着自己的任务清单：

1. 看 iG 夺冠；
2. 补月赛题的锅。

小 F 虽然经常咕咕咕，但他完成任务也是很厉害的，他一次性可以完成剩余任务的任一非空子集。比如，他现在可以选择以下几种中的一种：

1. 看 iG 夺冠；
2. 补月赛题的锅；
3. 一边看 iG 夺冠的直播，一边补锅。

当然，比赛实在是太精彩了，所以小 F 就去看比赛了。

不过，当金雨从天而降、IG 举起奖杯之时，小 F 突然心生愧疚——锅还没补呢！于是，小 F 的内心产生了一点歉意。

这时小 F 注意到，自己总是在某些情况下会产生歉意。每当他要检查自己的任务表来决定下一项任务的时候，如果当前他干了某些事情，但是没干另一些事情，那么他就会产生一定量的歉意——比如，无论他今天看没看比赛，只要没有补完月赛的锅，他都会在选择任务的时候产生 11 点歉意。小 F 完成所有任务后，他这一天的歉意值等于他每次选择任务时的歉意之和。

过高的歉意值让小 F 感到不安。现在，小 F 告诉你他还有 n 项任务，并告诉你在 m 种情况中的一种的情况下，小 F 会产生 ai​ 点歉意。请你帮忙计算一下，小 F 在那一天所有可能的完成所有任务方式的歉意值之和是多少。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模即可。

输入输出格式

输入格式：

输入一行两个整数 n, m，表示有 n 项任务，在 m 种情况中下小 F 会产生歉意值。

输入接下来 m 行，每行有一个长度为 n 的 0-1 串  和一个歉意值 ai，ai 为 0/1 表示第 j 项任务此时没做 / 已经做了。

详情请参考样例和样例解释。

输出格式：

输出一行一个整数，表示小 F 在那一天所有可能的完成任务方式的歉意值之和对 998244353 取模的结果。

思路：

一开始写的时候，把时间复杂度的（2^20*2^20）算成了（2^21）成功T飞

没T的那几个点也忘了取模……

其实这道题只用组合数就好

一个状态的贡献在于经过他有几种方案到达最终态

所以我们可以发现，这是一个组合数问题

比如说我们一共有5个任务，当前完成了3个任务

那么转移到完成3个任务的情况有

从00000转移到任选3个完成

从有1个转移到有3个

从有2个转移到有3个

我们发现，由于我并不用确定到底选的是哪个

只用考虑选了几个

所以选i个的情况总数就是

（原谅我直接搬了luogu的图）

然后对于每种有贡献的情况分别考虑即可

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define p 998244353
#define rii register int i
#define rij register int j
#define int long long
using namespace std;
int zhs[55][55],n,m,opt[55],ans,c[25][25];
void ycl()
{
    c[0][0]=1;
    for(rii=1;i<=20;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(rij=1;j<=20;j++)
        {
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            c[i][j]%=p;
        }
    }
    opt[0]=1;
    for(rii=1;i<=20;i++)
    {
        for(rij=1;j<=i;j++)
        {
            opt[i]+=c[i][j]*opt[i-j];
            opt[i]%=p;
        }
    }
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ycl();
    for(rii=1;i<=m;i++)
    {
        char ch=getchar();
        int zt=0,val;
        while(!isdigit(ch))
        {
            ch=getchar();
        }
        while(isdigit(ch))
        {
            zt+=ch-'0';
            ch=getchar();
        }
        scanf("%lld",&val);
        ans+=(((val*opt[zt])%p)*opt[n-zt])%p;
        ans%=p;
    }
    cout<<ans;
}