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  • 大整数乘法

    问题

    对于两个很大的整数相乘,比如,两个数的位数都是1024, c语言表示不了这么大的数。不过我们可以使用分治法来求它们的乘积。

    解决

    不失一般性,两个数A 和 B都是n位,n是2的幂次。如果不满足这个条件,可以通过补0操作,使它们满足。

    A: 

    a1 a2

    B:

    b1 b2

    则A*B 可以写为:

    A*B = (a1*10^n/2 + a2) * (b1*10^n/2 + b2)
      = a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2

    如果只转换到这个地步,那这个算法的时间复杂度还是挺高的

    递推关系式为:T(n) = 4T(n/2) + O(n), 因为分解后,有4个不同的乘法运算

    计算后,时间复杂度是 O(n^2)

    我们还可以继续优化。a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2,这个式子中,a1*b2+a2*b1 可以使用 a1*b1和 a2*b2 来表示。

    a1*b2+a2*b1 = (a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2

    这样,A*B 可表示为:

    a1*b1*10^n + ((a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2)*10^n/2 + a2*b2

    这里面有3个不同的乘法。加减运算的时间复杂度为 O(n)

    递推关系式为:T(n) = 3T(n/2) + O(n)

    时间复杂度为:O(n^log3) = O(n^1.59)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zuofaqi/p/9782676.html
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