动态规划作业-最长公共子序列问题

问题：对给定序列X=(x1,x2,...xm)和序列Z=（z1,z2,...zk)，Z是X的子序列当且仅当存在一个递增下标序列（i1,i2,...ik)

          使得对于所有j=1,2,,,k有zj=xi_j(1<=xi_j<=m)。例如序列（a,b,c,b,d,a,b）的一个子序列(b,c,d,b)

          相应的递增下标序列(2,3,5,7)

          给定两个序列X和Y，当序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列

定义子问题：设L(m,n)表示序列X=(x1,x2,...xm和Y=(y1,y2,...yn)的最长公共子序列的长度，显然

                      初始子问题是序列X和Y至少有一个空序列，即：

                      L(0,0)=L(0,j)=L(i,0)=0,     1<=i<=m,1<=j<=n

动态规划函数：

                      L(i,j)=L(i-1,j-1)+1                 xi=yj,i>=1,j>=1

                      L(i,j)=max{(L(i-1,j),L(i,j-1)}   xi!=yj,i>=1,j>=1

为了得到序列X和Y的最长公共子序列，设二维表S(m,n)记载求解过程中的状态变化

                     S(i,j)=1   xi=yj

                    S(i,j)=2   xi!=yj，L(i,j-1)>=L(i-1,j)

                    S(i,j)=3   xi!=yj,  L(i,j-1)<L(i-1,j)

若S(i,j)=1,则下一个搜索方向是S(i-1,j-1)

若S(i,j)=2,则下一个搜索方向是S(i,j-1)

若S(i,j)=3则下一个搜索方向是S(i-1,j)

 算法：

       输入：两个序列x和y

      输出：最长公共子序列及其长度

         1.循环变量i从0到l1重复下列操作

              L[i][0]=S[i][0]=0;

          2.循环变量i从0到l2重复下列操作

              L[0][i]=S[0][i]=0;

          3.循环变量i从1到l1重复下列操作

             3.1循环变量j从1到l2

                   3.1.1如果x[i]==y[j]

                           S[i][j]=1; L[i][j]=L[i-1][j-1]+1

                   3.1.2否则如果 L[i][j-1]>=L[i-1][j]

                          S[i][j]=2; L[i][j]=L[i][j-1]

                    3.1.3否则 S[i][j]=3;L[i][j]=L[i-1][j]

               4.使i=l1,j=l2，k=0；直到i<0 或者j<0,用字符数组path记录最长公共子序列

                  4.1如果S[i][j]==1 path[k++]=x[i],i--,j--;

                  4.2否则，如果S[i][j]=2 j--;

                   4.3否则 i--;

void dp_com(char x[], char y[],int l1,int l2) {
    int L[100][100];
    int S[100][100];
    char path[100];
    for (int i = 0; i <=l1; i++)
        L[i][0] = S[i][0] = 0;
    for (int i = 0; i <=l2; i++)
        L[0][i] = S[0][i] = 0;
    for (int i = 1; i <=l1; i++) {
        for (int j = 1; j <=l2; j++) {
            if (x[i] == y[j]) {
                S[i][j] = 1;
                L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1;
            }
            else if (L[i][j-1] >=L[i-1][j]) {
                S[i][j] = 2;
                L[i][j] = L[i][j-1];
            }
            else {
                S[i][j] = 3;
                L[i][j] = L[i-1][j];
            }
        }
    }
    cout << L[l1][l2] << endl;
    int i = l1, j = l2;
    int k = 0;
    while (i >0 && j >0) {
        if (S[i][j] == 1) {
            path[k++] = x[i];
            i--;
            j--;
        }
        else if (S[i][j] == 2) j--;
        else i--;
    }
    for (i = k-1; i >= 0; i--)
        cout << path[i];
    cout << endl;
}