Lyndon Word学习笔记

Lyndon Word

定义：对于字符串(s)，若(s)的最小后缀为其本身，那么称(s)为Lyndon串

等价性：(s)为Lyndon串等价于(s)本身是其循环移位中最小的一个

性质

任意字符串(s)都可以分解为(s = s_1 s_2 dots s_k)，其中(forall s_i)为Lyndon串且(s_i geqslant s_{i +1})。且这种分解方法是唯一的

• 存在性

引理1：若(u, v)为Lyndon串，且(u < v)，那么(uv)为Lyndon串

证明：
要证明(uv)为Lyndon串只需证明(uv)本身为其最小后缀，
我们可以把所有的后缀分为两类，一类是由(u)的后缀加上(v)串的来，这部分的相对大小不会改变。
另一类是(v)串的后缀，因为(v)本身也是Lyndon串，我们只需证明(v > uv)，因为(v > u)，显然成立

• 唯一性

证明：
设(pre(s, i))表示串(s)中(s[1 dots i])所代表的前缀
若有两种方案，取第一次不同的位置，设(|s_i| > |s'_i|)
令(s_i = s'_i s'_{i + 1} dots s'_{k} pre(s_{k + 1}, l))
反证法。根据定义，(s_i < pre(s'_{k + 1}, l) leqslant s'_{k + 1} leqslant s'_i < s_i)
矛盾

Duval算法

(下面内容抄袭并补充自参考资料2)

该算法可以在(O(n))的时间内求出串(s)的Lyndon分解

测试地址

引理2：若字符串(v)和字符(c)满足(vc)是某个Lyndon串的前缀，则对于字符(d>c)有(vd)是Lyndon串

证明：和上面同样的思路，对于(d)之前的后缀相对大小不会改变，之后的后缀只会变大

该算法中我们仅需维护三个变量(i, j, k)

(s[1..i - 1] = s_1 s_2 dots s_g)是固定下来的分解，也就是(forall l in [1, g] s_l)是Lyndon串且(s_l > s_{l + 1})

(s[i .. k - 1] = t_1 t_2 dots t_h v(h > 1)) 是没有固定的分解，满足(t_1)是Lyndon串，且(t_1 = t_2 = dots = t_h)，(v)是(t_h)的(可为空的)真前缀，且有(s_g > s[i .. k - 1])

当前读入的字符是(s[k])，令(j = k - |t_1|)

分三种情况讨论

• 当(s[k] = s[j])时，周期(k - j)继续保持

• 当(s[k] > s[j])时，合并得到(t_1 <- t_1 t_2 dots t_h v s[k])是Lyndon串

• 当(s[k] < s[j])时，(t_1, t_2, dots, t_h)的分解被固定下来，算法从(v)的开头处重新开始

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = (1 << 21) + 1;
char s[MAXN];
int main() {
    scanf("%s", s + 1);
    int N = strlen(s + 1), j, k;
    for(int i = 1; i <= N;) {
        j = i; k = i + 1;
        while(k <= N && s[j] <= s[k]) {
            if(s[j] < s[k]) j = i;
            else j++;
            k++;
        }
        while(i <= j) {
            printf("%d ", i + k - j - 1);
            i += k - j;
        }
    }
    return 0;
}

参考资料

Lyndon word

金策—字符串选讲