利用生成函数求斐波那契数列通项公式

利用生成函数求斐波那契数列通项公式

先吐槽一下，学习这玩意儿的时候真的是深深的明白了自己的弱小，人家的一个"解得"我居然解了两个小时。。qwq

前置知识

斐波那契数列：

[f_i = f_{i-1} + f_{i - 2} ]

[f_0 = f_1 = 1 ]

普通生成函数:

简单来说用多项式(sum_{i=0}^{infty} a_ix^i)的系数表示序列的元素

同时因为我们不关心(x)的取值，因此(sum_{i=0}^{infty}a_ix^i)又称作以(x)为自由元的形式幂级数

常见的有:

(frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + dots + x^{infty})

证明:
后半部分可以直接由通项公式得到(S_n = frac{1-x^{n+1}}{1-x})，当(x in (-1, 1))，那么(lim_{n o +infty} x^{n+1} = 0)

将(x)替换为(xk)得

(frac{1}{1-kx} = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 dots + k^{infty}x^{infty})

解法

设(A = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 dots)

根据递推式，我们可以这样变化，显然有

[egin{aligned} A = 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 dots \ xA = qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5dots \ x^2A =qquad qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 dots end{aligned} ]

那么可以得到一个方程(A - xA - x^2A = 1)

整理一下(A =frac{1}{1-x-x^2})

这样我们就得到了斐波那契数列的生成函数，然而并没有什么卵用，因为我们不能直接通过观察看出每一项的系数。

现在考虑一下，我们接下来可以干什么。我们已经知道了(frac{1}{1-x})和(frac{1}{1-kx})所表示的序列。接下来要干的当然是把(frac{1}{1-x-x^2})往上面的两个式子转化。

(frac{1}{1-x-x^2})这玩意儿下半部分是个一元二次方程，我们可以配方

[1-x-x^2 = (1-phi_1x)(1-phi_2x) ]

[phi_1 = frac{1+sqrt{5}}{2}, phi_2 = frac{1-sqrt{5}}{2} ]

(解的时候可以直接把后面的式子拆开，把这两个式子对应项联立组成方程组, (phi_1 phi_2)的取值是可以反过来的)

这个时候我们发现已经找到与(frac{1}{1-kx})的联系了，我们可以把(frac{1}{(1-phi_1 x)(1-phi_2 x)})拆成求和的形式。可以裂一下项

原式变为(frac{a}{1-phi_1x} + frac{b}{1-phi_2 x})，然后再解一个方程(a(1-phi_2 x) + b(1-phi_1x) = 1)

解这个方程就没那么休闲了，这里我们选择把(x)当做主元对方程进行变换

[(a+b - 1) - x(aphi_2 + bphi_1) = 0 ]

这样就好处理了，只要列个二元一次方程组

[egin{cases} a-b-1 = 0\ aphi_2 + bphi_1 = 0 end{cases} ]

解一下可以得到(a = frac{1}{sqrt{5}} phi_1, b = -frac{1}{sqrt{5}} phi_2)

带回去

[A = frac{phi_1}{sqrt{5}} frac{1}{1-phi_1x} - frac{phi_2}{sqrt{5}} frac{1}{1-phi_2x} ]

那么第(n)项的公式为

[A_n = frac{1}{sqrt{5}} ((frac{1+sqrt{5}}{2})^{n+1} - (frac{1-sqrt{5}}{2})^{n+1}) ]

参考资料

生成函数-罗煜楚(版权原因暂不公开)

特别感谢张一钊老师qwq