Catalan卡特兰数入门

简介

卡特兰数是组合数学中的一种常见数列

它的前几项为：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670,129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

公式

递归公式1

$f(n)=sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$

递归公式2

$f(n)=frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$

组合公式1

$f(n)=frac{C_{2n}^n}{n+1}$

组合公式2，重要！重要！重要！

$f(n)=C_{2n}^n-C_{2*n}^{n-1}$

递推公式

$f[n]=sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

一般在做题的时候，都是利用这个公式进行递推

证明

不会:stuck_out_tongue_closed_eyes:。（众人：那你在这瞎bb啥。:triumph:）

这个东西的证明我确实不会

不过我在这里教大家一种非常简单易懂的记忆方法，

记$f[n]$为卡特兰数的第$n$项

首先你要明白一件事情

一棵$n$个节点的二叉树的形态总数，就是卡特兰数的第$n$项

对于一棵二叉树，递归的考虑

一棵只有一个节点的二叉树只有一种形态

对于不是一个节点的二叉树，按照他的左右孩子进行讨论

设它的左孩子有$i$个节点，那么它的形态数为$f[i]$

那么它的右孩子有$n-i-1$个节点，那么它的形态数为$f[n-i-1]$ 

又因为每一个节点都可以作为根节点

所以不难得到递推式

$f[n]=sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

例题

都是裸题我就不细讲了

洛谷P1722 矩阵 II

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725346.html

洛谷P1044 栈

洛谷P1976 鸡蛋饼

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725386.html

总结

卡特兰数是一种常见的数列

需要每一位选手掌握它的递推式

卡特兰数一般不会单独出现，往往会出现在一些题目的部分分中，如2017某省省选(具体忘记了。)

在考场上，要证明一个东西是卡特兰数是非常困难的

自己手玩点小数据，只要前几项吻合，那一般就是卡特兰数啦