洛谷P3746 [六省联考2017]组合数问题

题目描述

组合数 C_n^mCnm​ 表示的是从 n 个互不相同的物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1;2;3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C_n^mCnm​ 的一般公式：

C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。（特别的，当 n = 0 时， n! = 1 ，当 m > n 时， C_n^m =0Cnm​=0 ）

小葱在 NOIP 的时候学习了 C_i^jCij​ 和 k 的倍数关系，现在他想更进一步，研究更多关于组合数的性质。小葱发现， C_i^jCij​ 是否是 k 的倍数，取决于 C_i^j mod kCij​modk 是否等于 0，这个神奇的性质引发了小葱对 mod 运算（取余数）的兴趣。现在小葱选择了是四个整数n; p; k; r，小葱现在希望知道

sum_{i=0}^{inf} C_{nk}^{ik+r} mod p∑i=0inf​Cnkik+r​modp

的值。

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第一行有四个整数 n; p; k;r，所有整数含义见问题描述。

输出格式：

一行一个整数代表答案。

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2 10007 2 0

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8

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20 10007 20 0

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说明

• 对于 30% 的测试点， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是质数；

• 对于另外 5% 的测试点， p = 2；

• 对于另外 5% 的测试点， k = 1；

• 对于另外 10% 的测试点， k = 2；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是质数；

• 对于另外 10% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

作为省选的T3出题人居然给了60分的暴力分，太良心了QWQ..

不过正解是死活想不到啊

设$C[i][j]$表示从$i$个元素中，拿所有满足$x %k=j $ 的 $x$个元素的方案数

那么对于第$i$个元素，

不选的方案数为$C[i-1][j]$

选的方案数为$C[i-1][(j-1+k)%k]$

很显然

可以用矩阵快速幂优化

然后就做完了

这题的关键是把杨辉三角的递推与题目中给出的式子相结合，找到题目中式子的一般规律，

进而通过更高科技的算法优化

注意$k=1$的特殊情况

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define int long long 
using namespace std;
const int MAXN=1e6;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int N,mod,k,r;
int C[51][51];
struct Matrix
{
    int a[51][51];
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};
Matrix mul(Matrix x,Matrix y)
{
    Matrix c;
    for(int kk=0;kk<=k-1;kk++)
        for(int i=0;i<=k-1;i++)
            for(int j=0;j<=k-1;j++)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+x.a[i][kk]*y.a[kk][j]%mod)%mod;
    return c;
}
void out(Matrix x)
{
    for(int i=0;i<=k-1;i++,puts("
"))
        for(int j=0;j<=k-1;j++)
            printf("%d ",x.a[i][j]);
}
Matrix fastpow(Matrix a,int p)
{
    Matrix base;
    for(int i=0;i<=k;i++) base.a[i][i]=1;
    while(p)
    {
        if(p&1) base=mul(base,a);
        a=mul(a,a);
        p>>=1;
    }
    return base;
}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #endif
    N=read(),mod=read(),k=read(),r=read();
    Matrix tmp;
    for(int i=0;i<=k-2;i++)
        tmp.a[i][i]=tmp.a[i][i+1]=1;
    tmp.a[k-1][0]++;tmp.a[k-1][k-1]++;
    Matrix ans;
    ans.a[0][0]=1;
    tmp=fastpow(tmp,N*k);
    ans=mul(ans,tmp);
    printf("%lld",ans.a[0][r]);
    return 0;
}