洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅(期望DP)

题目描述

“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获得球星背包，随声听，更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！”

你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

输入输出格式

输入格式：

整数n（2≤n≤33），表示不同球星名字的个数。

输出格式：

输出凑齐所有的名字平均需要买的饮料瓶数。如果是一个整数，则直接输出，否则应该直接按照分数格式输出，例如五又二十分之三应该输出为（复制到记事本）：

3 5-- 20 第一行是分数部分的分子，第二行首先是整数部分，然后是由减号组成的分数线，第三行是分母。减号的个数应等于分母的为数。分子和分母的首位都与第一个减号对齐。

分数必须是不可约的。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2

输出样例#1： 复制

3

 

说一种和楼上不一样的状态(本质是一样的)

我们用$f(i)$表示一共用$n$个不同的球星，已经收集到$i$个不同的球星

考虑转移，有两种状态

1. 买到不同时转移而来，概率为
$$frac{n-i}{n}f(i-1)$$
2. 买到相同时转移而来，概率为
$$frac{i}{n}f(i)$$

那么总共的情况就是
$$f(i)=frac{n-i}{n}f(i-1)+frac{i}{n}f(i)+1$$

化简得到

$$f(i)=f(i-1)+frac{n}{n-i}$$

这个公式实际是在计算

$$n*sum_1^n{frac{1}{n-i}}$$

然后暴力算就可以了

#include<cstdio>
#define int long long int
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int calc(int x)
{
    int base=0;
    while(x) base++,x/=10;
    return base;
}
main()
{
    int N;
    scanf("%lld",&N);
    int up=1,down=N;
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
    {
        up=up*i+down;down=down*i;
        int r=gcd(up,down);
        up/=r;down/=r;
    }
    up=up*N;
    int r=gcd(up,down);
    up/=r;down/=r;
    if(up%down==0) {printf("%lld",up/down);return 0;}
    int numa=calc(up/down),numb=calc(down);
    for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",up%down);puts("");//分子
    if(up/down>1) printf("%lld",up/down);for(int i=1;i<=numb;i++) printf("-");puts("");//注意这里要特判
    for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",down);
    return 0;
}