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  • 《具体数学》学习笔记

    前几天氪了本《具体数学》,感觉开了个天坑qwq,现在已经看了一些了,里面一些很有意思的性质,稍微纪录一下吧。

    以后争取每天能看一点,当然不一定是按顺序看。

    第1章 递归问题

    1.1河内塔

    $n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次

    1.2平面上的直线

    $n$条直线最多能将平面划分为$frac{n(n+1)}{2}$ + 1个区域

    1.3约瑟夫问题

    约瑟夫问题:$n$个人围成一个圈,每隔两个人杀死一个人,问最后谁会活下来

    设$J(n)$表示答案,$n =(b_{m - 1}dots b_1b_0bm)2$

    $J((b_mb_{m - 1}dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}dots b_1b_0bm)2$

    即$J(n) = n_2   left  rotate$(左循环一位)

    第2章 和式

    2.1 记号

    $sum_{k = 1} ^n a_k$

    $sum$后面的量成为被加数(summand)

    $sum_{k=1}^{pi(N)}frac{1}{p_k}$

    其中$p_k$表示第$k$个素数,$pi(N)$是$leqslant N$的素数的个数。

    这个和式给出了接近$N$的随机整数平均而言有多少个素因子,因为那些整数中大约有$1/p$个能被$p$整除,对于大的$N$,它的值近似等于$lnlnN + M$,其中

    $$M approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$

    麦尔腾(mertens)常数(百度不到这个人?!)

    2.2 和式和递归式

    将$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$转化为和式

    $$T_n = frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$

    其中$$s_n = frac{a_{n-1}a_{n-2}dots a_1}{b_nb_{n-1}dots b_2}$$

    $H_n = 1 + frac{1}{2} + dots + frac{1}{n} = sum_{k = 1}^n frac{1}{k}$

    字母$H$表示“调和的”,$H_n$称为一个“调和数”(harmonic number)

    2.3 和式的处理

    设$K$是任意一个有限整数集合,$K$中元素的和式可以用三条简单的法则加以变换:

    $$sum_{k in K}ca_k = c sum_{k in K}a_k$$

    $$sum_{k in K}(a_k + b_k) = sum_{k in K}a_k + sum_{k in K}b_k$$

    $$sum_{k in K}a_k = sum_{p(k) in K} a_{p(k)}$$

    第4章 数论

    4.1 整除性

    如果$m > 0$且比值$n mid m$是一个整数,我们就说$m$整除$n$(或者$n$被$m$整除)

    $m mid n Longleftrightarrow m > 0 $且对某个整数$k$有$n = mk$

    如果$m$不整除$n$,我们就写成$m mid n$

    两个整数$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他们两者的最大整数

    $$gcd(m, n) = max{k that kmid m 且 k mid n}$$

    4.2 素数

    如果一个正整数$p$恰好只有两个因子,即$1$和$p$,那么这个数就称为素数(prime)

    算术基本定理:有且仅有一种方式将$n$按照素数非减的次序写成素数的成绩

    $$n = p_1 dots p_m = prod_{k = 1}^m p_k$$

    4.3 素数的例子

    素数有无穷多个

    形如$2^p - 1$的数,称为梅森素数(Mersenne number)

    4.4 阶乘的因子

    斯特林公式

    $$n! approx sqrt{2 pi n}(frac{n}{e})^n $$

    4.5 互素

    当$gcd(m,n) = 1$时,整数$m$和$n$没有公共的素因子,我们就称它们是互素的(relatively prime)

    若$m ot n Longleftrightarrow m,n$是整数,且$gcd(m,n) = 1$


    Stern-Brocot树:构造由满足$m ot n$的全部非负的分数$frac{m}{n}$组成的集合

    构造方法:首先从$(frac{0}{1},frac{1}{0})$出发,每次在两个相邻接的分数$frac{m}{n}$和$frac{m'}{n'}$之间插入$frac{m + m'}{n + n'}$

    性质:

    1. 如果$frac{m}{n}$和$frac{m'}{n'}$是这个构造中任何一个阶段的相邻的分数,我们就有$$m'n - mn' = 1$$

    2. 对于分数$frac{a}{b}$,至多在$a + b$步之后我们一定会得到$frac{a}{b}$

    阶为$N$的法里级数(Farey serires)记为$F_n$,它是介于$0$到$1$之间的分母不超过$N$的所有最简分数组成的集合,且按照递增的次序排列

    递推方法:$F_n$可以由$F_{n - 1}$中分母之和等于$N$的相邻分数$frac{m}{n}$和$frac{m'}{n'}$之间插入分数$frac{m + m'}{N}$得到。

    当$N$是素数时,将会出现$N - 1$个新的分,否则会有少于$N - 1$个新的分数

    4.9 $phi $函数和$ mu $函数

    $phi $函数性质

    1.$n^{phi{m}} equiv p^k - p^{k - 1}$

    2.若$p$为素数,$phi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$

    因为$phi$函数为积性函数,因此$$phi(m) = prod_{p mid m}(p^{m_p} - p^{m_p - 1}) = m prod_{p mid m}(1 - frac{1}{p})$$

    3.$sum_{d mid m} phi(d) = m$

    积性函数

    如果$f(1) = 1$,且$$f(m_1m_2) = f(m_1)f(m_2)$$

    只要$m_1 ot m_2$,那么正整数的函数$f(m)$称为是积性的(multiplicative)

    第6章 特殊的数

    6.6 斐波那契数

    1.卡西尼不等式
    $$F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n^2 = (-1)^n, n > 0$$

    2.

    $$F_{n + k} = F_kF_{n + 1} + F_{k - 1}F_n$$

    3.
    $F_{kn}$都是$F_n$的倍数,其逆命题也成立

    4.如果$n > 2$,则斐波那契数$F_m$是$F_n^2$的倍数,当且仅当$m$是$nF_n$的倍数

    5.每一个正整数都可以用斐波那契数唯一表示

    $n = F_{k_1} + F_{k_2}+ dots + F_{k_r}, k_1 gg k_2 gg dots gg k_r gg 0$

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