BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募(线性规划)

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

Source

如果不知道这题是线性规划的话肯定很难看出来，不过知道了就好做多了

若$C_i$为第$i$个人的花费，$a_i$为第$i$天需要的人，$x_i$为第$i$个人的数量

那么我们需要满足对于每一天$i$，$sum_{i = 1}^{M} x_i >= a_i$，同时$sum C_i x_i$最小

啥？最小？当时我推出式子来就蒙了qwq。然后跑去膜题解

根据对偶原理，问题相当于使得$sum_{i = 1}^{M} x_i <= C_i$，的情况下$sum a_i x_i$最大

仔细一想好像挺有道理

关于最后答案是否为整数的问题

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3980

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long 
using namespace std;
const int MAXN = 51, INF = 1e9 + 10;
const double eps = 1e-8;
inline int read() {
    char c = getchar();int x = 0,f = 1;
    while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){x = x * 10 + c - '0',c = getchar();}
    return x * f;
}
int N, M;
LL a[10001][1001];
void Pivot(int l, int e) {
    double t = a[l][e]; a[l][e] = 1;
    for(int i = 0; i <= N; i++) a[l][i] /= t;
    for(int i = 0; i <= M; i++) {
        if(i != l && abs(a[i][e]) > eps) {
            t = a[i][e]; a[i][e] = 0;
            for(int j = 0; j <= N; j++)
                a[i][j] -= a[l][j] * t;
        }
    }
}
bool simplex() {
    while(1) {
        int l = 0, e = 0; double mn = INF;
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            if(a[0][i] > eps) 
                {e = i; break;}
        if(!e) break;
        for(int i = 1; i <= M; i++)
            if(a[i][e] > eps && a[i][0] / a[i][e] < mn)
                mn = a[i][0] / a[i][e], l = i;
        Pivot(l, e);
    }
    return 1;
}
int main() {
    srand(19260817);
    N = read(); M = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[0][i] = read();    
    for(int i = 1; i <= M; i++) { 
        int S = read(), T = read(), C = read();
        for(int j = S; j <= T; j++)    
            a[i][j] = 1;
        a[i][0] = C;
    }
    simplex();
    printf("%lld", -a[0][0]);
    return 0;
}