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  • BZOJ4804: 欧拉心算(莫比乌斯反演 线性筛)

    题意

    求$$sum_1^n sum_1^n phi(gcd(i, j))$$

    $T leqslant 5000, N leqslant 10^7$


    Sol

    延用BZOJ4407的做法

    化到最后可以得到

    $$sum_{T = 1}^n frac{n}{T} frac{n}{T} sum_{d mid T}^n phi(d) mu(frac{T}{d})$$

    后面的那个是积性函数,直接筛出来

    注意这个函数比较特殊,筛的时候需要分几种情况讨论

    1. $H(p) = p - 2$

    2. $H(p^2) = p^2 - 2p + 1$

    3. $H(p^{k + 1}) = H(p^k) * p$

    // luogu-judger-enable-o2
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #define LL long long 
    using namespace std;
    const int MAXN = 1e7 + 10, mod = 1e9 + 7;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
    int prime[MAXN], vis[MAXN], tot;
    LL H[MAXN], low[MAXN];
    void GetH(int N) {
        H[1] = vis[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= N; i++) {
            if(!vis[i]) prime[++tot] = i, H[i] = i - 2, low[i] = i;
            for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++) {
                vis[i * prime[j]] = 1;
                if(!(i % prime[j])) {
                    low[i * prime[j]] = low[i] * prime[j];
                    if(low[i] == i) {
                        if(low[i] == prime[j]) H[i * prime[j]] = (H[i] * prime[j] + 1);
                        else H[i * prime[j]] = H[i] * prime[j];
                    } 
                    else H[i * prime[j]] = H[i / low[i]] * H[low[i] * prime[j]];
                    break;
                }
                H[i * prime[j]] = H[i] * H[prime[j]];
                low[i * prime[j]] = prime[j];
            }
        }
        for(int i = 2; i <= N; i++) 
            H[i] = H[i - 1] + H[i];
    }
    int main() {
        GetH(1e7 + 5);
        int T = read();
        while(T--) {
            int N = read(), last;
            LL ans = 0;
            for(int i = 1; i <= N; i = last + 1) {
                last = N / (N / i);
                ans = ans + 1ll * (N / i) * (N / i) * (H[last] - H[i - 1]);
            } 
            printf("%lld
    ", ans);
        }
        return 0;
    }
    /*
    3
    7001
    123000
    10000000
    */
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9335926.html
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