• BZOJ1576: [Usaco2009 Jan]安全路经Travel(最短路 并查集)


    题意

    给你一张无向图,保证从1号点到每个点的最短路唯一。对于每个点求出删掉号点到它的最短路上的最后一条边(就是这条路径上与他自己相连的那条边)后1号点到它的最短路的长度

    Sol

    emmm,考场上想了个贪心开心的飞起然而只多得了10分qwq

    正解比较神仙。

    首先把最短路树建出来,考虑一条非树边$(u, v)$什么时候能更新答案

    结论是:除了他们的LCA外的子树内其他都可以更新,且新的权值为$dis[u] + dis[v] + w(u, v) - dis[x]$,$x$表示新节点

    这样我们把所有的边按照$dis[u] + dis[v] + w(u, v)$排序,显然,一个点如果被更新过那么就再也不会被更新了。

    用并查集把已经更新过的点缩起来即可

    这题的关键是要发现非树边与答案之间的性质。。

    #include<cstdio>
    #include<vector>
    #include<queue>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #define Pair pair<int, int> 
    #define MP(x, y) make_pair(x, y)
    #define fi first
    #define se second
    using namespace std;
    const int MAXN = 1e6 + 10, INF = 1e9 + 10;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
    int N, M;
    vector<Pair> v[MAXN];
    struct Edge {
        int u, v, w;
    }E[MAXN];
    int num = 0;
    int dis[MAXN], top[MAXN], vis[MAXN], cnt = 0, ans[MAXN];
    void Dij() {
        memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
        dis[1] = 0;
        priority_queue<Pair> q; q.push(MP(0, 1));
        while(!q.empty()) {
            int p = q.top().se; q.pop();
            if(vis[p]) continue; vis[p] = 1;
            for(int i = 0; i < v[p].size(); i++) {
                int to = v[p][i].fi, w = v[p][i].se;
                if(dis[to] > dis[p] + w && (!vis[to])) {
                    top[to] = p;
                    dis[to] = dis[p] + w;
                    q.push(MP(-dis[to], to));
                }
            }
        }
    }
    int comp(const Edge &a, const Edge &b) {
        return dis[a.u] + dis[a.v] + a.w < dis[b.u] + dis[b.v] + b.w;
    }
    int fa[MAXN];
    int unionn(int x, int y) {
        fa[x] = y;
    }
    int Find(int x) {
        if(fa[x] == x) return fa[x];
        else return fa[x] = Find(fa[x]);
    }
    int solve(int x, int y, int w) {
        while((x = Find(x)) != (y = Find(y))) {
            //int dx = dis[x], dy = dis[y];
            if(dis[x] < dis[y]) swap(x, y);
            ans[x] = w - dis[x];
            x = (fa[x] = top[x]);
            cnt++;
        }
    }
    int main() {
        N = read(); M = read();    
        for(int i = 1; i <= M; i++) {
            int x = read(), y = read(), z = read();
            v[x].push_back(MP(y, z));
            v[y].push_back(MP(x, z));
        }
        Dij();
        for(int i = 1; i <= N; i++) {
            fa[i] = i;
            for(int j = 0; j < v[i].size(); j++) {
                int to = v[i][j].fi, w = v[i][j].se;
                if(top[to] == i || top[i] == to) continue;
                E[++num] = (Edge) {i, to, w};
            }
        }
        sort(E + 1, E + num + 1, comp);
        for(int i = 1; i <= num; i++) {
            solve(E[i].u, E[i].v, dis[E[i].u] + dis[E[i].v] + E[i].w);
            if(cnt == N - 1) break;
        }
        for(int i = 2; i <= N; i++)
            printf("%d
    ", ans[i] ? ans[i] : -1);
        return 0;
    }
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