BZOJ4299: Codechef FRBSUM(主席树)

题意

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数集S的ForbiddenSum定义为无法用S的某个子集（可以为空）的和表示的最小的非负整数。

例如，S={1,1,3,7}，则它的子集和中包含0(S’=∅)，1(S’={1})，2(S’={1,1})，3(S’={3})，4(S’={1,3})，5(S' = {1, 1, 3})，但是它无法得到6。因此S的ForbiddenSum为6。

给定一个序列A，你的任务是回答该数列的一些子区间所形成的数集的ForbiddenSum是多少。

Sol

若序列已经被从小到大排序

考虑当前位置为$i$，且$[1, s_i]$内的数都可以被拼成

那么若$a[i + 1] > s_i + 1$，那么$a[i + 1]$不能被拼成

于是我们可以这样去做

首先在集合内找比$s = 1$小的数的和(也就相当于上面的前缀和)，若比$1$少，则答案为$1$

若询问得到的结果是$1$，则$s = 1 + 1 = 2$，此时我们去找比$2$小的和

若$< 2$，则答案为$2$，不断做下去，直到不符合条件为止。

不符合条件，实际上也就是$a[i + 1] > s_i + 1$

每次在一段区间内询问小于等于某一个数的和，可以用主席树维护，

时间复杂度：若一直是符合条件的，我们每次询问会至少让si翻一倍，因此单次询问的复杂度为log sn，

加上主席树的复杂度，总复杂度为$O(Q logn log sn)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 3 * 1e6 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); 
    return x * f;
}
int N, a[MAXN], lim;
int ls[MAXN], rs[MAXN], sum[MAXN], tot, root[MAXN];
void insert(int &k, int p, int l, int r, int pos) {
    k = ++ tot;
    ls[k] = ls[p]; rs[k] = rs[p]; sum[k] = sum[p] + pos;
    if(l == r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    if(pos <= mid) insert(ls[k], ls[p], l, mid, pos);
    else insert(rs[k], rs[p], mid + 1, r, pos);
}
int Query(int k, int p, int l, int r, int val) {
    if(l > val) return 0;
    if(r <= val) return sum[k] - sum[p];
    int mid = l + r >> 1;
    int suml = sum[ls[k]] - sum[ls[p]];
    if(val > mid) return suml + Query(rs[k], rs[p], mid + 1, r, val);
    else return Query(ls[k], ls[p], l, mid, val);
}
int solve(int l, int r) {
    int nxt = 0;
    for(int i = 1; ; i = nxt + 1) {
        nxt = Query(root[r], root[l - 1], 1, lim, i);//询问区间内<=i的数的和
        if(nxt < i) return i;
    }
}
int main() {
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read(), lim = max(a[i], lim);
    for(int i = 1; i <= N; i++) insert(root[i], root[i - 1], 1, lim, a[i]);
    int Q = read();
    while(Q--) {
        int l = read(), r = read();
        printf("%d
", solve(l, r));
    }
    return 0;
}