cf1040E. Network Safety(并查集)

题意

题目链接

一张图，n个点，m条边，每个点有个权值x，x<=1e18。如果一条边的两个端点不一样，那么这条边是安全的，开始时所有边都是安全的。

现在有一个病毒y，病毒可以入侵任意的点，入侵一个点后的权值为(y^x)。

(S,y)表示病毒的权值为y，它只入侵了点集S中的点，整张图的边都是安全的。求出所有的(S,y)。

Sol

不算是特别难想的div2压轴题。。

题目中保证了任意两个节点互不相同，因此想让图不安全，对于$(A, x)$一定是存在 A内一点 ^ x = 与该点相邻点的权值

显然，对于每一条边我们可以求出对应的x。

刚开始我傻乎乎的以为任意两个节点之间对应的值都是不同的，但是这样肯定是错的

比如 101 ^ 1 = 100, 1011 ^ 1 = 1010

但就算有相同的也没关系。

考虑$x$的贡献，如果存在两个节点，假设其权值分别为a,b，满足a ^ x = b

那么该节点要么同时不出现，要么同时出现，也就相当于把这两个点看成了一个点

然后我在这里又掉了一次坑，题目中只是说了“刚开始是安全的”，我天真的以为是互不相同。。

这样的话，就有可能存在好多个点看成一个点的情况，直接用并查集维护即可

最终的答案 = $sum_{k} 2^siz(k) + (2^k - cnt) * (2^n)$

cnt表示互不相同的x的数量

$siz(k)$表示把$x ^ k = y$的点全都缩起来后的总点数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#define Pair pair<int, int>
#define MP(x, y) make_pair(x, y)
#define fi first
#define se second
#define LL long long 
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
inline LL read() {
    char c = getchar(); LL x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M, fa[MAXN];
LL po[MAXN], c[MAXN], K;
map<LL, vector<Pair> >mp;
int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}
main() {
    N = read(); M = read(); K = read();
    po[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= N; i++) c[i] = read();
    for(int i = 1; i <= max((LL)N, K); i++) po[i] = (1ll * 2 * po[i - 1]) % mod;
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int x = read(), y = read();
        mp[c[x] ^ c[y]].push_back(MP(x, y));
    }
    LL ans = 0;
    map<LL, vector<Pair> >::iterator it;
    for(int i = 1; i <= N; i++) fa[i] = i;
    for(it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) {    
        LL val = it -> first;
        vector<Pair> now = it -> second;
        vector<int> res;
        for(int i = 0; i < now.size(); i++) {
            int fx = find(now[i].fi), fy = find(now[i].se);
            res.push_back(fx); res.push_back(fy);
            if(fx == fy) continue;
            fa[fx] = fy; 
        }
        for(int i = 0; i < res.size(); i++) fa[res[i]] = res[i];
        (ans += po[tot]) %= mod;
    }
    printf("%I64d", (ans + 1ll * (po[K] - mp.size()) * po[N] % mod) % mod);
    return 0;
}