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  • 单调队列优化多重背包

    算法

    应该是个经典算法,稍微记录一下

    (w[i])表示重量,(v[i])表示价值

    那么不难写出转移方程

    (f[i][j] = max(f[i - 1][j - k * w[i]] + k * v[i]))

    考虑用单调队列优化。

    我们若要用单调队列优化,那么必须满足转移时所需要的状态只与(k)有关

    这里要用到一个神仙操作,对(j \% w[i])分类

    因为对于(\% j)后相同的数,转移时只有(k)的值不相同。

    (a = frac{j}{w[i]}, b = j \% w[i])

    那么转移方程可以写成

    (f[i][j] = max(f[i - 1][b + k * w[i]] - k * v[i]]) + a * v[i])

    对每个(j \% w[i])分别维护单调队列即可。。

    同时(f)数组可以滚动一下

    代码

    题目链接

    #include<bits/stdc++.h>
    #define LL long long 
    using namespace std;
    const int MAXN = 1001;
    inline int read() {
        int x = 0, f = 1; char c = getchar();
        while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
    int N, M, C, q[10001];
    LL f[10001], val[10001];
    main() {
        N = read(); M = read(); C = read();
        for(int i = 1; i<= N; i++) {
            int w = read(), v = read(), d = read();
            for(int b = 0; b < w; b++) {//b = j % w  原体积为j = k * w + b
                for(int k = 0, h = 1, t = 0, j = b; j <= C; k++, j += w) {
                    int a = k * v, tmp = f[j] - a;// a = j / w * v = k * v
                    while(h <= t && tmp > val[q[t]]) t--;
                    q[++t] = k; val[q[t]] = tmp;//由于这里的val需要被更新过后才能使用,因此不用清空
                    while(h <= t && q[h] + d < k) h++;//需要的物品超过d个
                    f[j] = val[q[h]] + a;
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= M; i++) {
            int a = read(), b = read(), c = read();//
            for(int j = C; j >= 0; j--)//枚举一下体积
                for(int k = 0; k <= j; k++)
                    f[j] = max(f[j], f[j - k] + (a * k + b) * k + c);
        }
        cout << f[C];
        return 0;
    }
    
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