chapter 3 几何表示和变换
P.S： 总算到了 motion planning 部分了
几何建模
几何建模主要有两类方法：边界表示法和实体表示法。
环境模型可以是二维或三维，实体主要包括障碍物和机器人。
多边形和多面体模型
凸边形定义：子集 $ X subset mathbb{R}^{n} $ 为凸集，当且仅当， X 中任意两点连线上的所有点也属于 X 。
边界表示法可以用多边形表示，用一系列的边界点(left ( x_{1}, y_{1} ight ),left ( x_{2}, y_{2} ight ),cdots ,left ( x_{m}, y_{m} ight ))表示。实体表示法可以用半平面的交集表示。
半平面可以表示如下：
(H_{i} = left { left ( x,y
ight )in W| f_{i}left ( x,y
ight )leqslant 0
ight }.)
刚体变换
2D 变换
旋转：
旋转 + 移动：
3D 变换
yaw, pitch, roll：
旋转变换：
反解旋转角：
利用 atan2 可以得到：
均质变换矩阵(The homogeneous transformation matrix)：
刚体运动链的变化
相互依附的刚体的变化更加复杂，一系列依附的刚体被称为联动，如果刚体通过单链关联，这种联动是运动链。
2D 运动链的均质变换：
3D 运动链的均质变换：
图示：
均质变换矩阵：
均质变换矩阵的 DH 参数
非刚体变换
线性变换：
旋转变换是一种特殊的线性变换。
同比例放大缩小：
剪切变换：
当 m12 = 1 时，剪切变换效果如下图：
